Trigonometria

Trigonometria: cos’è, tutto sull’argomento

Trigonometria

 

Funzioni trigonometriche rappresentate graficamente
Funzioni trigonometriche rappresentate graficamente

La trigonometria è la parte della matematica che studia i triangoli a partire dai loro angoli. Il compito principale della trigonometria, così come rivela l’etimologia del nome, consiste nel calcolare le misure che caratterizzano gli elementi di un triangolo partendo da altre misure già note, per mezzo di speciali funzioni.

Algoritmo di prostaferesi

L’algoritmo di prostaferesi è stato usato a cavallo tra il XVI e il XVII secolo per determinare in modo approssimato il risultato di una moltiplicazione sfruttando alcune relazioni trigonometriche. Per un quarto di secolo, fino al 1614 con l’introduzione dei logaritmi, fu l’unico metodo noto e applicabile su larga scala per eseguire rapidamente il calcolo manuale di moltiplicazioni. La parola prostaferesi deriva dalla giustapposizione di due parole di origine greca, prosthesis (πρόσθεσις) e aphaeresis (ὰφαίρεσις), che significano rispettivamente somma e sottrazione, due passaggi fondamentali dell’algoritmo.

Approssimazione per angoli piccoli

 

Comportamento simile di alcune funzioni (trigonometriche) per x tendente a 0.
Comportamento simile di alcune funzioni (trigonometriche) per x tendente a 0.

Arcocosecante

Grafico dell'arcocosecante.
Grafico dell’arcocosecante.

L’arcocosecante è la funzione trigonometrica inversa della cosecante.

L’approssimazione per angoli piccoli consiste nel semplificare le funzioni trigonometriche di base a funzioni più semplici quando l’angolo è molto piccolo e tende a zero. L’approssimazione si basa sugli sviluppi di Taylor-MacLaurin troncati al secondo ordine. Si ha:

Arcocoseno

In matematica, in particolare in trigonometria, l’arcocoseno è definito come funzione inversa del coseno di un angolo. La funzione coseno non è biiettiva, quindi non invertibile. È possibile, però, applicare un restringimento del dominio e del codominio in modo da renderla sia iniettiva che suriettiva. Per convenzione si preferisce restringere il dominio della funzione coseno nell’intervallo .

Arcocotangente

In matematica, e in particolare in trigonometria, l’arcocotangente è la funzione definita come funzione inversa della cotangente di un angolo nell’intervallo .

Arcosecante

 

Grafico dell'arcosecante
Grafico dell’arcosecante

L’arcosecante è la funzione trigonometrica inversa della secante,

Arcoseno

In trigonometria l’arcoseno è definito come funzione inversa del seno di un angolo. La funzione seno non è biettiva quindi non è possibile avere la sua inversa, tuttavia è possibile restringere il suo dominio in modo da renderla sia iniettiva che suriettiva e quindi invertibile. Per convenzione si preferisce restringere il dominio della funzione seno nell’intervallo .

Arcotangente

In trigonometria l’arcotangente è definita come funzione inversa della restrizione della funzione tangente all’intervallo 

Arcotangente2

In trigonometria la funzione a due argomenti atan2 rappresenta una variazione dell’arcotangente. Comunque presi gli argomenti reali  e  non nulli,  indica l’angolo in radianti tra il semiasse positivo delle  di un piano cartesiano e un punto di coordinate  giacente su di esso. L’angolo è positivo se antiorario e negativo se in verso orario.

Cardioide

In geometria la cardioide è una curva e più precisamente una epicicloide con una e una sola cuspide. Essa è quindi una curva che si può ottenere tracciando il percorso di un punto scelto su una circonferenza che viene fatta rotolare senza scivolamenti intorno ad un’altra circonferenza di raggio uguale e mantenuta fissa. La cardioide può anche essere vista come un caso particolare di limaçon.

Circonferenza unitaria

 

Rappresentazione della circonferenza unitaria. t è la misura di un angolo
Rappresentazione della circonferenza unitaria. t è la misura di un angolo

In matematica, una circonferenza unitaria è una circonferenza di raggio unitario, cioè una circonferenza il cui raggio è . Frequentemente, specialmente in trigonometria, la circonferenza unitaria è centrata nell’origine  in un sistema di coordinate cartesiane nel piano euclideo.

Cofunzione

In matematica, una funzione f è cofunzione di una funzione g se f(A) = g(B), dove A e B sono angoli complementari. Tale definizione tipicamente si applica alle funzioni trigonometriche.

Cosecante

Grafico della funzione cosecante
Grafico della funzione cosecante

In trigonometria la cosecante è una funzione definita come il reciproco del seno e indicata solitamente con la notazione csc:

Coseno

 

Dato un triangolo rettangolo, il coseno di un angolo acuto è definito come il rapporto tra le lunghezze del cateto adiacente all'angolo e dell'ipotenusa
Dato un triangolo rettangolo, il coseno di un angolo acuto è definito come il rapporto tra le lunghezze del cateto adiacente all’angolo e dell’ipotenusa

In matematica, in particolare in trigonometria, dato un triangolo rettangolo, il coseno di uno dei due angoli interni adiacenti all’ipotenusa è definito come il rapporto tra le lunghezze del cateto adiacente all’angolo e dell’ipotenusa.

Costanti trigonometriche esatte

Con il termine costanti trigonometriche esatte si indicano espressioni riguardanti valori o combinazioni di valori di funzioni trigonometriche costruite a partire da numeri interi con le operazioni razionali e le operazioni di estrazione di radice. Queste espressioni numeriche sono utilizzate principalmente per semplificare le soluzioni di problemi geometrici fornite mediante radicali.

Cotangente

 

Grafico della funzione y=cot(x)
Grafico della funzione y=cot(x)

In matematica, in particolare in trigonometria, la cotangente di un angolo è definita come la proiezione sull’asse  del punto di incontro tra il prolungamento del secondo lato dell’angolo orientato e la retta che tange la circonferenza goniometrica nel punto . Spesso si usa definirla anche tramite il rapporto tra il coseno ed il seno dello stesso angolo:

Disequazione trigonometrica

In matematica, le disequazioni trigonometriche o goniometriche sono disequazioni del tipo  oppure  in cui almeno una delle funzioni  e  contenga l’incognita come argomento di una funzione trigonometrica.

Equazione trigonometrica

Un’equazione trigonometrica o goniometrica è un’equazione in cui l’incognita compare come argomento di una o più funzioni trigonometriche, quali seno, coseno e tangente.

Figura di Lissajous

Figura di Lissajous su un oscilloscopio
Figura di Lissajous su un oscilloscopio

In matematica e in fisica, per figura di Lissajous si intende il grafico di una curva data dal sistema di equazioni parametriche

Formula dell’emisenoverso

La formula dell’emisenoverso è una formula in trigonometria sferica utile alla navigazione.

Formula di de Moivre

La formula di de Moivre è una delle basi dell’analisi dei numeri complessi, ed è legata al piano complesso, ovverosia alla rappresentazione dei numeri complessi su un piano, considerando l’asse x l’asse dei reali e l’asse  l’asse degli immaginari. Essa permette di esprimere la potenza di un numero complesso nella sua forma trigonometrica.

Formule di Briggs

Le Formule di Briggs sono delle formule geometriche, ricavate da Henry Briggs, in grado di fornire i valori delle principali funzioni trigonometriche avendo a disposizione soltanto le misure dei 3 lati del triangolo.

Formule di duplicazione

Le formule di duplicazione nella trigonometria servono per calcolare il seno, il coseno e la tangente di  avendo il valore di seno, coseno o tangente di . Sono ottenibili direttamente a partire dalle più generali formule di addizione delle funzioni trigonometriche nel caso particolare .

Formule di prostaferesi

In trigonometria, le formule di prostaferesi permettono di trasformare somme e differenze di funzioni trigonometriche di due angoli in un prodotto di funzioni trigonometriche.

Formule di Werner

In trigonometria, le formule di Werner permettono di trasformare prodotti di funzioni trigonometriche di due angoli in somme e differenze di funzioni trigonometriche. Prendono il nome dal matematico tedesco Johann Werner che le definì agli inizi del XVI secolo. Le formule inverse delle formule di Werner si chiamano formule di prostaferesi.

Funzione gudermanniana

La funzione gudermanniana collega le funzioni trigonometriche alle funzioni iperboliche senza ricorrere ai numeri complessi.

Funzione sinc

 

La funzione sinc normalizzata (blu) e quella non normalizzata (rosso).
La funzione sinc normalizzata (blu) e quella non normalizzata (rosso).

In matematica la funzione sinc, indicata come  o, più raramente, con , può essere definita in due modi.

Funzione trigonometrica

 

Le funzioni trigonometriche dell'angolo θ si possono costruire geometricamente in termini di un cerchio unitario centrato in O.
Le funzioni trigonometriche dell’angolo θ si possono costruire geometricamente in termini di un cerchio unitario centrato in O.

In matematica, le funzioni trigonometriche o funzioni goniometriche o funzioni circolari sono funzioni di un angolo; esse sono importanti nello studio dei triangoli e nella modellizzazione dei fenomeni periodici, oltre a un gran numero di altre applicazioni.

Funzione trigonometrica inversa

In matematica, le funzioni trigonometriche inverse sono un insieme di funzioni strettamente collegate alle funzioni trigonometriche. Le funzioni inverse principali sono elencate nella seguente tabella.

Funzioni integrali trigonometriche

In matematica l’espressione funzioni integrali trigonometriche fa riferimento ad una famiglia di funzioni definite mediante integrali di funzioni trigonometriche.

Glossario di trigonometria

Questa pagina si prefigge di costituire un glossario di trigonometria che consenta di rintracciare in maniera più agevole gli articoli di tale settore della matematica.

Identità trigonometrica

Un’identità trigonometrica è un’identità matematica che coinvolge le funzioni trigonometriche.

Onda sinusoidale

 

Grafico del seno (in rosso) e del coseno (in blu)
Grafico del seno (in rosso) e del coseno (in blu)

In fisica, un’onda sinusoidale è un’onda descritta matematicamente dalla funzione seno. Una sinusoide o curva sinusoidale è la curva rappresentata dal grafico del seno. Una sinusoide è analoga alla curva relativa alla funzione coseno, detta cosinusoide, sfasata di .

Polinomio di Čebyšëv

In matematica, i polinomi di Čebyšëv, normalmente in italiano detti polinomi di Chebyshev secondo la traslitterazione anglosassone sono le componenti di una successione polinomiale che inizia con i seguenti polinomi:

Polinomio trigonometrico

In matematica, un polinomio trigonometrico è una combinazione lineare finita di funzioni  e  per alcuni valori di  interi positivi. Una serie di Fourier troncata è un polinomio trigonometrico.

Radiante

 

Un angolo misurato in radianti.
Un angolo misurato in radianti.

Il radiante, è l’unità di misura dell’ampiezza degli angoli del Sistema internazionale di unità di misura. Tale misura rappresenta il rapporto tra la lunghezza dell’arco di circonferenza tracciato dall’angolo e la lunghezza del raggio di tale circonferenza; essendo il rapporto tra due grandezze omogenee, è un numero puro.

Secante (trigonometria)

Grafico della funzione secante
Grafico della funzione secante

In matematica, la secante di un angolo è una funzione trigonometrica definita come il reciproco del coseno dello stesso angolo, ossia:

Seno (matematica)

 

Dato un triangolo rettangolo, il seno di un angolo acuto è definito come il rapporto tra le lunghezze del cateto opposto all'angolo e dell'ipotenusa
Dato un triangolo rettangolo, il seno di un angolo acuto è definito come il rapporto tra le lunghezze del cateto opposto all’angolo e dell’ipotenusa

In matematica, in particolare in trigonometria, dato un triangolo rettangolo il seno di uno dei due angoli interni adiacenti all’ipotenusa è definito come il rapporto tra le lunghezze del cateto opposto all’angolo e dell’ipotenusa.

Senoverso

Funzioni trigonometriche. Il senoverso (in verde scuro) è indicato sull'asse delle ascisse, accanto al coseno (in rosso). Dalla figura si vede che il senoverso è il complemento a 1 del coseno: infatti il senoverso assieme al coseno corrispondono al raggio della circonferenza trigonometrica, che è unitario.
Funzioni trigonometriche. Il senoverso (in verde scuro) è indicato sull’asse delle ascisse, accanto al coseno (in rosso). Dalla figura si vede che il senoverso è il complemento a 1 del coseno: infatti il senoverso assieme al coseno corrispondono al raggio della circonferenza trigonometrica, che è unitario.

In matematica, il senoverso, è una funzione goniometrica definita come:

Storia delle funzioni trigonometriche

 

Una rappresentazione d'artista di Claudio Tolomeo
Una rappresentazione d’artista di Claudio Tolomeo

La storia delle funzioni trigonometriche si estende per circa 4000 anni. Vi sono delle prove che indicano che i babilonesi furono i primi ad usare delle funzioni trigonometriche, in base ad una tabella di numeri scritta su una tavola cuneiforme babilonese, Plimpton 322, che si può interpretare come una tavola di secanti. Vi è, tuttavia, un dibattito ancora aperto sul fatto che essa fosse una tavola trigonometrica o no. Il più antico uso della funzione seno appare nel Sulba Sutras scritto nell’antica India fra l’ottavo e il sesto secolo a.C., che calcola correttamente il seno di π/4 (45°) come 1/√2 in una procedura per il problema opposto della quadratura del cerchio, sebbene non fosse ancora stata sviluppata la nozione di seno in senso generale.

Tangente (matematica)

 

Figura 1. Dato un triangolo rettangolo, la tangente di un angolo è definita come il rapporto tra il seno e il coseno dello stesso angolo
Figura 1. Dato un triangolo rettangolo, la tangente di un angolo è definita come il rapporto tra il seno e il coseno dello stesso angolo

In matematica, in particolare in trigonometria, la tangente è una funzione trigonometrica definita come la proiezione sull’asse  del punto di incontro tra il prolungamento del secondo lato dell’angolo orientato e la retta che tange la circonferenza goniometrica nel punto ; molto spesso è anche definita come il rapporto tra il seno e il coseno del medesimo angolo. Convenzionalmente tale funzione viene indicata come tan.

Tavola trigonometrica

In matematica la tavola trigonometrica è una tabella che elenca il valore di una funzione trigonometrica per un certo numero di possibili valori angolari. Una tavola trigonometrica è principalmente caratterizzata da due aspetti:

  • dettaglio: indica la differenza tra due angoli consecutivi di cui la tabella riporta i valori; maggiore è il dettaglio, minore è la differenza;
  • precisione: indica con quale approssimazione sono arrotondati i valori della funzione trigonometrica riportati nella tavola.

Teorema dei seni

 

Un triangolo generico con le comuni notazioni
Un triangolo generico con le comuni notazioni

In trigonometria, il teorema dei seni esprime una relazione di proporzionalità diretta fra le lunghezze dei lati di un triangolo e i seni dei rispettivi angoli opposti.

Teorema del coseno

In geometria, il teorema del coseno esprime la relazione tra la lunghezza dei lati di un triangolo e il coseno di uno dei suoi angoli. Può essere considerato una generalizzazione del teorema di Pitagora al caso di triangoli non rettangoli. Questo teorema, dimostrato già dal persiano Al-Kashi, è noto anche, specialmente in Francia, come teorema di Al-Kashi o anche, specialmente in Italia, come teorema di Carnot, dal nome del matematico francese Lazare Carnot, anche se in realtà il teorema è stato reso popolare dal francese François Viète.

Teorema della corda

In trigonometria, il teorema della corda esprime la lunghezza della corda tracciata lungo una circonferenza e l’angolo sotteso dalla corda stessa. Data una circonferenza di raggio , e una corda tracciata tra due punti  e  della circonferenza, l’angolo sotteso dalla corda stessa con vertice al centro della circonferenza è detto angolo al centro; ciascun angolo sotteso dalla corda e con vertice sulla circonferenza è detto angolo alla circonferenza

Teorema della mediana

In geometria piana, il teorema della mediana è un teorema che lega la lunghezza della mediana in un triangolo alle lunghezze dei tre lati. È attribuito ad Apollonio. La sua dimostrazione si può ricondurre alla legge del coseno o teorema di Carnot.


Tratto da Wikipedia:

Rispondi

%d blogger hanno fatto clic su Mi Piace per questo: