Trasformate integrali, cosa sono: applicazione…

Le Trasformate integrali.


44-XX

44-XX è la sigla della sezione primaria dello schema di classificazione MSC dedicata alle trasformate integrali e al calcolo operazionale.

Trasformata di Hilbert

La trasformata di Hilbert è una trasformata integrale, definita per un segnale generico  come:

Trasformata integrale

Una trasformata integrale è un’applicazione, generalmente lineare, di uno spazio di funzioni su un altro spazio di funzioni, realizzata attraverso un integrale, di fatto utilizzate per ridurre equazioni differenziali lineari a equazioni algebriche e per l’analisi dei segnali.

Convoluzione

In matematica, in particolare nell’analisi funzionale, la convoluzione è un’operazione tra due funzioni di una variabile che consiste nell’integrare il prodotto tra la prima e la seconda traslata di un certo valore. Ha una forte somiglianza con la correlazione incrociata.

Formula di Perron

In teoria analitica dei numeri, la formula di Perron è una formula che permette di calcolare la somma di una funzione aritmetica tramite una trasformata di Mellin inversa. La formula prende il nome da Oskar Perron.

Teorema del valore iniziale

In analisi funzionale il teorema del valore iniziale permette di determinare il valore asintotico iniziale di una funzione partendo dalla sua trasformata di Laplace. Nello specifico, data una funzione  di classe , causale e con ascissa di convergenza , si ha, nell’ipotesi che esista finito il limite :

Teorema di convoluzione

In matematica, il teorema di convoluzione afferma che sotto opportune condizioni la trasformata di Laplace, così come la trasformata di Fourier della convoluzione di due funzioni è il prodotto delle trasformate delle funzioni stesse. Questo teorema ha importanti risvolti nell’analisi dei segnali, in particolare nell’ambito delle reti lineari.

Teorema di inversione di Fourier

In matematica, il teorema di inversione di Fourier, definisce le condizioni di esistenza per l’inversa della trasformata di Fourier, detta anche antitrasformata di Fourier, la quale permette di risalire ad una funzione  conoscendo la sua trasformata  attraverso la formula di inversione di Fourier. Una versione alternativa del teorema è il teorema di inversione di Mellin, che può essere applicato anche alla trasformata di Fourier grazie alla semplice relazione che le lega.

Teorema di inversione di Mellin

In matematica, il teorema di inversione di Mellin, il cui nome deriva dal matematico finlandese Hjalmar Mellin, definisce le condizioni di esistenza per la trasformata di Mellin inversa, ovvero le condizioni di validità per la formula di inversione di Mellin. Una versione alternativa del teorema è il teorema di inversione di Fourier, che può essere applicato anche alla trasformata di Mellin grazie alla semplice relazione che le lega.

Trasformata di Fourier

In analisi matematica, la trasformata di Fourier è una trasformata integrale, cioè un operatore che trasforma una funzione in un’altra funzione, sviluppata dal matematico francese Jean Baptiste Joseph Fourier nel 1822, nel suo trattato Théorie analytique de la chaleur, con numerose applicazioni nella fisica e nell’ingegneria ovvero uno degli strumenti matematici maggiormente utilizzati nell’ambito delle scienze pure e applicate, permettendo di scrivere una funzione dipendente dal tempo nel dominio delle frequenze, grazie alla decomposizione della funzione nella base delle funzioni esponenziali con un prodotto scalare, rappresentazione spesso chiamata spettro della funzione. A volte si intende per trasformata di Fourier la funzione che risulta dall’applicazione di questo operatore.

Trasformata di Hankel

In matematica, la trasformata di Hankel è una trasformata integrale, per la prima volta sviluppata dal matematico Hermann Hankel, che esprime una data funzione  come una somma pesata di un numero infinito di funzioni di Bessel del primo tipo . È anche conosciuta come la trasformata di Fourier–Bessel. Le funzioni di Bessel del nucleo integrale sono tutte dello stesso ordine , ma differiscono nel fattore di scala  lungo l’asse . Il coefficiente  di ogni funzione di Bessel, visto come una funzione del fattore di scala , costituisce la trasformata di Hankel. La trasformata di Hankel è strettamente collegata con la serie di Fourier-Bessel, nello stesso modo in cui la trasformata di Fourier per un intervallo infinito è in relazione con la serie di Fourier su un intervallo finito.

Trasformata di Laplace

In analisi funzionale, la trasformata di Laplace – il nome è dovuto a Pierre Simon Laplace – è un operatore funzionale lineare che associa ad una funzione di variabile reale una funzione di variabile complessa. Rientra nella categoria delle trasformate integrali.

Trasformata di Laplace-Stieltjes

La trasformata di Laplace-Stieltjes, il cui nome è dovuto a Pierre-Simon Laplace e Thomas Joannes Stieltjes, è una trasformata integrale che ha caratteristiche molto simili alla trasformata di Laplace. Per funzioni a valori reali è la trasformata di Laplace di una misura di Stieltjes, mentre in generale è solitamente definita su funzioni a valori in uno spazio di Banach.

Trasformata di Mellin

La trasformata di Mellin, il cui nome deriva dal matematico finlandese Hjalmar Mellin, è una trasformata integrale che può essere considerata la versione moltiplicativa della trasformata di Laplace bilatera.

Trasformata di Radon

In matematica, la trasformata di Radon, il cui nome è dovuto a Johann Radon, è una trasformata integrale la cui inversa, detta antitrasformata di Radon, è utilizzata per ricostruire immagini bidimensionali a partire dai dati raccolti nel processo di diagnostica medica detto tomografia assiale computerizzata (TAC). L’antitrasformata di Radon è utilizzata anche in altre applicazioni pratiche: per esempio è stata impiegata per ricostruire in base a dati satellitari mappe delle regioni polari di un pianeta o posizione e rotta di navi.

Trasformata di Steinmetz

In analisi funzionale, la trasformata di Steinmetz, il cui nome è dovuto a Charles Proteus Steinmetz, è un operatore funzionale lineare che associa a una funzione  di variabile reale, una funzione  di variabile reale. Essa rientra nella categoria delle trasformate integrali.

Trasformata di Weierstrass

In matematica, la trasformata di Weierstrass è una trasformata integrale di una funzione , che deve il suo nome al matematico tedesco Karl Weierstrass. La trasformata è intuitivamente una versione “smussata” di , ottenuta mediando il valore di  e pesando con una funzione gaussiana centrata in .

Il grafico di una funzione {\displaystyle f(x)}f(x) (in nero) e le sue trasformate di Weierstrass generalizzate per 5 valori del parametro {\displaystyle t}t. La trasformata di Weierstrass standard {\displaystyle F(x)}F(x) è data dal caso {\displaystyle t=1}t=1 (in verde)
Il grafico di una funzione {\displaystyle f(x)}f(x) (in nero) e le sue trasformate di Weierstrass generalizzate per 5 valori del parametro {\displaystyle t}t. La trasformata di Weierstrass standard {\displaystyle F(x)}F(x) è data dal caso {\displaystyle t=1}t=1 (in verde)

Trasformata inversa di Laplace

In matematica, la trasformata inversa di Laplace o antitrasformata di Laplace è l’inversa della trasformata di Laplace. Entrambe hanno importanti applicazioni nello studio/analisi dei sistemi dinamici lineari.

Trasformata zeta

In analisi funzionale la trasformata zeta è una trasformata integrale che permette di trasformare una funzione discreta in una funzione più semplice, utilizzata principalmente nella teoria dei segnali.


Da Wikipedia, l’enciclopedia libera.

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