Trasformate

Trasformate: cosa sono, tutto sull’argomento

Trasformata

In matematica, una trasformata è un operatore, generalmente lineare, di uno spazio di funzioni su un altro spazio di funzioni che trasforma una funzione in un’altra.

Applicazioni

Una trasformata è di solito applicata ad una funzione per semplificare alcune operazioni o in generale per risolvere più facilmente dei problemi.

Dato un problema da risolvere A, che può essere un calcolo aritmetico o la risoluzione di un’equazione differenziale, uno schema esemplificativo può essere il seguente:

  1. si trasforma il problema A in un altro problema B più semplice da risolvere;
  2. si risolve il problema B;
  3. si antitrasforma la soluzione del problema B nella soluzione del problema A.

Ad esempio, in aritmetica il processo di trovare il logaritmo di un prodotto può essere ridotto al più semplice processo di sommare i logaritmi dei singoli fattori: potremmo quindi avere una trasformata che trasforma numeri in altri numeri rendendo alcuni aspetti del calcolo più semplici.

Nella matematica superiore questa stessa idea viene applicata per risolvere certi tipi di equazioni differenziali. Per esempio, la trasformata di Laplace consiste nel moltiplicare una funzione {\displaystyle F(t)} di una variabile reale {\displaystyle t}, definita per {\displaystyle t>0}, per {\displaystyle e^{-pt}}, dove {\displaystyle p} è una variabile complessa {\displaystyle x+iy}, e poi nell’integrare i risultati rispetto a {\displaystyle t}, da zero ad infinito. Ciò genera una nuova funzione {\displaystyle f(p)} chiamata trasformata di Laplace di {\displaystyle F(t)}. Grazie a questa trasformata la risoluzione di alcune equazioni differenziali risulta ridotta alla soluzione di un problema algebrico.

Un altro tipo di trasformata usata per algebrizzare la risoluzione di equazioni differenziali è la trasformata di Fourier che è inoltre alla base dell’analisi di Fourier cioè lo studio di problemi di analisi dei sistemi dinamici e di segnali nel dominio della frequenza (nei sistemi a tempo discreto essa è sostituita dalla trasformata zeta). L’utilizzo della trasformata di Radon o della trasformata wavelet nell’analisi di onde elettromagnetiche riflesse da superfici o corpi è alla base di molte tecniche di diagnostica medica o mappatura della superficie terrestre: grazie a tali trasformate la ricostruzione di immagini tridimensionali viene notevolmente semplificata.

Elenco di trasformate

  • Trasformata discreta del coseno
  • Trasformata di Fourier
  • Trasformata discreta di Fourier
  • Algoritmo per la Trasformata di Fourier: la Trasformata di Fourier veloce
  • Trasformata di Hilbert
  • Trasformata di Laplace
  • Trasformata di Legendre
  • Trasformata di Mellin
  • Trasformata di Radon
  • Trasformata di Steinmetz
  • Trasformata wavelet
  • Trasformata zeta

Trasformazione binomiale

In matematica, la trasformazione binomiale è una trasformazione di una successione tramite differenze finite. Le trasformazioni binomiali sono strettamente legate alla somma di Eulero.

Trasformata di Cayley

In matematica, con trasformata di Cayley si identificano oggetti diversi.

Trasformata di Fourier a tempo discreto

In matematica, la trasformata di Fourier a tempo discreto, spesso abbreviata con DTFT, è una trasformata che a partire da un segnale discreto ne fornisce una descrizione periodica nel dominio della frequenza, analogamente alla trasformata di Fourier tradizionale.

Trasformata discreta di Fourier

In matematica, in particolare nell’analisi di Fourier, la trasformata discreta di Fourier, anche detta DFT, è un particolare tipo di trasformata di Fourier. Si tratta anche di un caso particolare della trasformata zeta.

Trasformata di Fourier quantistica

In computazione quantistica, la trasformata di Fourier quantistica è una trasformazione lineare su qubit, ed è l’analogo quantistico della trasformata discreta di Fourier inversa. La trasformata di Fourier quantistica fa parte di molti algoritmi quantistici, in particolare l’algoritmo di fattorizzazione di Shor per fattorizzare e calcolare il logaritmo discreto, l’algoritmo quantistico di stima della fase per stimare gli autovalori di un operatore unitario, e algoritimi per il problema del sottogruppo nascosto. La trasformata di Fourier quantistica fu inventata da Don Coppersmith.

Trasformata di Fourier veloce

In matematica, la trasformata di Fourier veloce, spesso abbreviata con FFT, è un algoritmo ottimizzato per calcolare la trasformata discreta di Fourier (DFT) o la sua inversa.

Trasformata di Hadamard

La trasformata di Hadamard è un esempio di classe generalizzata di trasformate di Fourier. Effettua una trasformazione lineare ortogonale, simmetrica, involutiva su 2m numeri reali.

Trasformata di Legendre

 

Visualizzazione tipo metodo del punto fisso. Una funzione {\displaystyle f(x)} f(x) , (colore rosso), ha una retta tangente nel punto {\displaystyle x_{0}} x_0 (colore blu). Questa tangente ha pendenza {\displaystyle f'(x)}f'(x), e interseca l'asse verticale in {\displaystyle (0,-g)}{\displaystyle (0,-g)}. {\displaystyle g}g è il valore che ha nel punto x la trasformata di Legendre di f. Variando il punto x varia la trasformata g(x) che è legata al valore di f(x), e della sua derivata f'(x).
Visualizzazione tipo metodo del punto fisso. Una funzione {\displaystyle f(x)} f(x) , (colore rosso), ha una retta tangente nel punto {\displaystyle x_{0}} x_0 (colore blu). Questa tangente ha pendenza {\displaystyle f'(x)}f'(x), e interseca l’asse verticale in {\displaystyle (0,-g)}{\displaystyle (0,-g)}. {\displaystyle g}g è il valore che ha nel punto x la trasformata di Legendre di f. Variando il punto x varia la trasformata g(x) che è legata al valore di f(x), e della sua derivata f'(x).

In analisi funzionale, il funzionale di Legendre o trasformazione di Legendre, è un funzionale involuzione che fu definito da Adrien-Marie Legendre. La funzione risultato si chiama di solito trasformata, come per le trasformate integrali di Laplace, Fourier, ecc. Consente un importante cambiamento di variabile per funzioni dotate di alcune proprietà. Il funzionale è l’inverso di sé stesso

Trasformata Mojette

In analisi matematica, la trasformata Mojette è una trasformata di Radon discreta esatta. Il primo punto nuovo è di non utilizzare che addizioni e sottrazioni. Il secondo è di essere una trasformata ridondante, cioè che permette di approfittare di una informazione sovrabbondante disponendo di questa informazione tramite proiezioni.

Trasformata inversa di scattering

In matematica, la trasformata inversa di scattering è un metodo per risolvere alcune equazioni alle derivate parziali non lineari. Può essere visto come un analogo non lineare, e in un certo senso una generalizzazione, della trasformata di Fourier, che viene ampiamente usata per risolvere molte equazioni alle derivate parziali lineari. Il nome “trasformata inversa di scattering” deriva dall’idea chiave di ricavare l’evoluzione temporale di un potenziale dall’evoluzione temporale dei suoi dati di scattering: lo scattering inverso si riferisce al problema di ricavare un potenziale di interazione partendo dalla matrice di scattering, in contrapposizione al problema di scattering diretto, in cui si calcola la matrice di scattering conoscendo il potenziale.


Tratto da Wikipedia:

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