Trasformata di Hartley – Wikipedia

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div class=”mw-parser-output”>Trasformata integrale strettamente correlata alla trasformata di Fourier

In matematicail Trasformazione di Hartley (HT) è un trasformata integrale strettamente legato al trasformata di Fourier (FT), ma che trasforma le funzioni con valori reali in funzioni con valori reali. È stato proposto come alternativa alla trasformata di Fourier di Ralph VL Hartley nel 1942,[1] ed è uno dei tanti conosciuti Trasformate di Fourier. Rispetto alla trasformata di Fourier, la trasformata di Hartley ha i vantaggi della trasformazione vero funzioni a funzioni reali (anziché richiedere numeri complessi) e di essere il suo inverso.

La versione discreta della trasformazione, il trasformata discreta di Hartley (DHT), è stato introdotto da Ronald N. Bracewell nel 1983.[2]

La trasformata di Hartley bidimensionale può essere calcolata mediante un processo ottico analogico simile a un trasformata ottica di Fourier (OFT), con il vantaggio proposto che solo la sua ampiezza e segno devono essere determinati piuttosto che la sua fase complessa.[3] Tuttavia, le trasformazioni ottiche di Hartley non sembrano aver visto un uso diffuso.

Definizione[edit]

La trasformata di Hartley di a funzione



f
(
t
)


{\ displaystyle f




ω


{\ displaystyle \ omega}

nelle applicazioni può essere un frequenza angolare e

La trasformata di Hartley ha la conveniente proprietà di essere la sua stessa inversa (an involuzione):

Convegni[edit]

Quanto sopra è in accordo con la definizione originale di Hartley, ma (come con la trasformata di Fourier) vari dettagli minori sono questioni di convenzione e possono essere modificati senza alterare le proprietà essenziali:

Relazione con la trasformata di Fourier[edit]

Questa trasformazione differisce dalla classica trasformata di Fourier



F
(
ω
)
=


F


{
f
(
t
)
}
(
ω
)


{\ displaystyle F (\ omega) = {\ mathcal {F}} \ {f




esp


(



io

ω
t

)

=
cos

(
ω
t
)


io

peccato

(
ω
t
)


{\ displaystyle \ exp \ sinistra ({-\ mathrm {i} \ omega t} \ destra) = \ cos (\ omega t) -\ mathrm {i} \ sin (\ omega t)}

,
dove





io



{\ displaystyle \ mathrm {i}}

è il unità immaginaria.

Le due trasformazioni sono strettamente correlate, tuttavia, e la trasformata di Fourier (supponendo che usi lo stesso




1

/



2
π




{\displaystyle 1/{\sqrt {2\pi}}}

convenzione di normalizzazione) può essere calcolato dalla trasformata di Hartley tramite:

Cioè, le parti reali e immaginarie della trasformata di Fourier sono semplicemente date dal pari e dispari parti della trasformata di Hartley, rispettivamente.

Viceversa, per le funzioni a valori reali



f
(
t
)


{\ displaystyle f

dove







{\ displaystyle \ Re}

e







{\ displaystyle \ Im}

denotare la parte reale e quella immaginaria.

Proprietà[edit]

La trasformazione di Hartley è reale operatore lineareed è simmetrico (e eremita). Dalle proprietà simmetriche e autoinverse segue che la trasformata è a operatore unitario (infatti, ortogonale).

C’è anche un analogo del teorema di convoluzione per la trasformata di Hartley. Se due funzioni



X
(
t
)


{\ displaystyle x

<img src=”https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/397de1edef5bf2ee15c020f325d7d781a3aa7f50″ class=”mwe-math-fallback-image-inline” aria-hidden=”true” style=”vertical-align: -0.838ex; width:3.804ex; height:2.843ex;” alt=”si



X
(
ω
)


{\ displaystyle X (\ omega )}

e




Y
(
ω
)


{\ displaystyle Y (\ omega )}

, rispettivamente, quindi il loro convoluzione



z
(
t
)
=
X

y


{\ displaystyle z

Simile alla trasformata di Fourier, la trasformata di Hartley di una funzione pari/dispari è rispettivamente pari/dispari.

ca[edit]

Le proprietà del Nocciolo di Hartleyper il quale Hartley ha introdotto il nome ca per la funzione (da coseno e seno) nel 1942,[1][4] seguire direttamente da trigonometriae la sua definizione di funzione trigonometrica sfasata



ca

(
t
)
=


2


peccato

(
t
+
π

/

4
)
=
peccato

(
t
)
+
cos

(
t
)


{\ displaystyle \ nomeoperatore {cas}

Inoltre:

e la sua derivata è data da:

Guarda anche[edit]

Riferimenti[edit]

Ulteriori letture[edit]


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