Tertium non datur: cos’è, legge del terzo escluso

In logica, la legge del terzo escluso (o principio del terzo escluso) afferma che per ogni proposizione, o questa proposizione o la sua negazione è veraÈ una delle cosiddette tre leggi del pensiero, insieme alla legge di non contraddizione e alla legge di identità. Tuttavia, nessun sistema logico è costruito solo su queste leggi, e nessuna di queste leggi fornisce regole di inferenza, come il modus ponens o le leggi di De Morgan.

La legge è detta anche legge (o principio ) del terzo escluso, in latino principium tertii exclusi. Un’altra designazione latina per questa legge è tertium non datur: “nessuna terza [possibilità] è data”. È una tautologia.

Il principio non deve essere confuso con il principio semantico di bivalenza, che afferma che ogni proposizione è vera o falsa. Il principio di bivalenza implica sempre la legge del terzo escluso, mentre non è sempre vero il viceversa. Un controesempio citato utilizza affermazioni non dimostrabili ora, ma dimostrabili in futuro per dimostrare che la legge del terzo escluso può essere applicata quando il principio di bivalenza fallisce.

Storia

Aristotele

La prima formulazione nota è nella discussione di Aristotele sul principio di non contraddizione , proposta per la prima volta in Sull’interpretazione , dove dice che di due proposizioni contraddittorie (cioè dove una proposizione è la negazione dell’altra) una deve essere vera, e l’altra falso. Lo afferma anche come principio nella Metafisica libro 3, dicendo che è necessario in ogni caso affermare o negare, e che è impossibile che ci sia qualcosa tra le due parti di una contraddizione.

Aristotele ha scritto che l’ambiguità può derivare dall’uso di nomi ambigui, ma non può esistere nei fatti stessi:

È impossibile, quindi, che “essere un uomo” significhi precisamente “non essere un uomo”, se “uomo” non solo significa qualcosa su un soggetto, ma ha anche un significato. … E non sarà possibile essere e non essere la stessa cosa, se non in virtù di un’ambiguità, proprio come se uno che chiamiamo “uomo”, e gli altri chiamassero “non-uomo”; ma il punto in questione non è questo, se la stessa cosa possa allo stesso tempo essere e non essere un uomo di nome, ma se possa essere di fatto. ( Metafisica 4.4, WD Ross (trad.), GBWW 8, 525–526).

L’affermazione di Aristotele che “non sarà possibile essere e non essere la stessa cosa”, che sarebbe scritta nella logica proposizionale come ~( P ∧ ~ P ), è un’affermazione che i logici moderni potrebbero chiamare legge del terzo escluso ( P ∨ ~ P ), in quanto la distribuzione della negazione dell’asserto aristotelico li rende equivalenti, indipendentemente dal fatto che il primo affermi che nessun enunciato è sia vero che falso, mentre il secondo esige che ogni enunciato sia o vero o falso.

Ma Aristotele scrive anche, “poiché è impossibile che i contraddittori siano allo stesso tempo veri della stessa cosa, ovviamente anche i contrari non possono appartenere allo stesso tempo alla stessa cosa” (Libro IV, CH 6, p. 531). Quindi propone che “non può esserci un intermedio tra i contraddittori, ma di un soggetto dobbiamo affermare o negare un predicato qualsiasi” (Libro IV, CH 7, p. 531). Nel contesto della logica tradizionale di Aristotele , questa è un’affermazione straordinariamente precisa della legge del terzo escluso, P ∨ ~ P .

Anche in Sull’interpretazione , Aristotele sembra negare la legge del terzo escluso nel caso di futuri contingenti , nella sua discussione sulla battaglia navale.

Leibniz

La sua forma abituale, “Ogni giudizio è o vero o falso” [nota 9]…» (da Kolmogorov in van Heijenoort, p. 421) nota 9: «Questa è la semplicissima formulazione di Leibniz (vedi Nouveaux Essais , IV,2 )” (ibid p 421)

Bertrand Russel e Principia Matematica

Il principio è stato affermato come teorema della logica proposizionale da Russell e Whitehead in Principia Mathematica come:

{\displaystyle \mathbf {*2\cdot 11} .\ \ \vdash .\ p\ \vee \thicksim p}.

Quindi cos’è “verità” e “falsità”? In apertura il PM annuncia velocemente alcune definizioni:

Valori-verità . Il “valore di verità” di una proposizione è verità se è vera e falsità se è falsa* [*Questa frase è dovuta a Frege] … il valore di verità di “p ∨ q” è verità se il valore di verità di o p o q è verità, ed è falsità altrimenti… quella di “~ p” è l’opposto di quella di p…» (p. 7-8)

Questo non è di grande aiuto. Ma più avanti, in una discussione molto più approfondita (“Definizione e ambiguità sistematica di verità e falsità” cap. II parte III, p. 41 ss), PM definisce verità e falsità in termini di un rapporto tra la “a” e la “b”. e il “percipiente”. Per esempio “Questo ‘a’ è ‘b'” (es. “Questo ‘oggetto a’ è ‘rosso'”) significa realmente “‘oggetto a’ è un dato sensoriale” e “‘rosso’ è un dato sensoriale” , e “stanno in relazione” l’uno con l’altro e in relazione con “io”. Quindi ciò che intendiamo veramente è: “Percepisco che ‘Questo oggetto a è rosso'” e questa è una “verità” innegabile da parte di terzi.

PM definisce inoltre una distinzione tra un “dato sensoriale” e una “sensazione”:

Cioè, quando giudichiamo (diciamo) “questo è rosso”, ciò che accade è una relazione di tre termini, la mente, e “questo” e “rosso”. D’altra parte, quando percepiamo “il rossore di questo”, c’è una relazione di due termini, vale a dire la mente e l’oggetto complesso “il rossore di questo” (pp. 43-44).

Russell ha ribadito la sua distinzione tra “senso-dato” e “sensazione” nel suo libro The Problems of Philosophy (1912), pubblicato contemporaneamente a PM (1910-1913):

Diamo il nome di “dati sensoriali” alle cose che sono immediatamente conosciute nella sensazione: cose come colori, suoni, odori, durezze, rugosità e così via. Daremo il nome di “sensazione” all’esperienza di essere immediatamente consapevoli di queste cose… Il colore stesso è un dato sensoriale, non una sensazione. (pag. 12)

Russell ha ulteriormente descritto il suo ragionamento dietro le sue definizioni di “verità” e “falsità” nello stesso libro (Capitolo XII, Verità e falsità ).

Conseguenze della legge del terzo escluso nei Principia Mathematica

Dalla legge del terzo escluso, formula ✸2.1 in Principia Mathematica , Whitehead e Russell derivano alcuni degli strumenti più potenti nel toolkit di argomentazione del logico. (In Principia Mathematica, formule e proposizioni sono identificate da un asterisco iniziale e due numeri, come “✸2.1”.)

✸2.1 ~ p ∨ p “Questa è la Legge del terzo escluso” ( PM , p. 101).

La dimostrazione di ✸2.1 è approssimativamente la seguente: “idea primitiva” 1.08 definisce p → q = ~ p ∨ q . Sostituendo p per q in questa regola si ottiene p → p = ~ p ∨ p . Poiché p → p è vero (questo è il Teorema 2.08, che è dimostrato separatamente), allora ~ p ∨ p deve essere vero.

✸2.11 p ∨ ~ p (La permutazione delle asserzioni è consentita dall’assioma 1.4)
✸2.12 p → ~(~ p ) (Principio della doppia negazione, parte 1: se “questa rosa è rossa” è vero allora non è vero che ” ‘questa rosa non è rossa’ è vero”.)
✸2.13 p ∨ ~{~(~ p )} (Lemma insieme a 2.12 usato per derivare 2.14)
✸2.14 ~(~ p ) → p (Principio della doppia negazione, parte 2)
✸2.15 (~ p → q ) → (~ q → p) (Uno dei quattro “Principi di trasposizione”. Simile a 1.03, 1.16 e 1.17. Qui è stata richiesta una lunghissima dimostrazione.)
✸2.16 ( p → q ) → (~ q → ~ p ) (Se è vero che ” Se questa rosa è rossa allora questo maiale vola” allora è vero che “Se questo maiale non vola allora questa rosa non è rossa.”)
✸2.17 ( ~ p → ~ q ) → ( q → p ) (Un altro di i “Principi di trasposizione”.)
✸2.18 (~ p → p ) → p (Chiamato “Il complemento della reductio ad absurdum .Afferma che una proposizione che segue dal’ipotesi della sua stessa falsità è vera” ( PM , pp. 103-104).)

La maggior parte di questi teoremi, in particolare ✸2.1, ✸2.11 e ✸2.14, sono respinti dall’intuizionismo. Questi strumenti sono riformulati in un’altra forma che Kolmogorov cita come “i quattro assiomi di implicazione di Hilbert” e “i due assiomi di negazione di Hilbert” (Kolmogorov in van Heijenoort, p. 335).

Proposizioni ✸2.12 e ✸2.14, “doppia negazione”: Gli scritti intuizionisti di LEJ Brouwer fanno riferimento a quello che egli chiama “il principio della reciprocità delle specie multiple , cioè il principio che per ogni sistema la correttezza di una proprietà segue da l’impossibilità dell’impossibilità di questa proprietà» (Brouwer, ibid, p. 335).

Questo principio è comunemente chiamato “il principio della doppia negazione” ( PM , pp. 101-102). Dalla legge del terzo escluso (✸2.1 e ✸2.11), PM deriva immediatamente il principio ✸2.12. Sostituiamo ~ p per p in 2.11 per ottenere ~ p ∨ ~(~ p ), e per la definizione di implicazione (cioè 1.01 p → q = ~p ∨ q) allora ~p ∨ ~(~p)= p → ~ (~p). QED (La derivazione di 2.14 è un po’ più complicata.)

Reichenbach

È corretto, almeno per la logica bivalente – cioè si può vedere con una mappa di Karnaugh – che questa legge rimuova “il centro” dell’inclusivo – o usato nella sua legge (3). E questo è il punto della dimostrazione di Reichenbach secondo cui alcuni credono che l’ o esclusivo dovrebbe prendere il posto dell’o inclusivo .

A questo proposito (in termini certamente molto tecnici) Reichenbach osserva:

Il tertium non datur
29. ( x )[ f ( x ) ∨ ~ f ( x )]
non è esaustivo nei suoi termini principali ed è quindi una formula gonfiata. Questo fatto può forse spiegare perché alcune persone considerano irragionevole scrivere (29) con l’inclusivo -‘o’, e vogliono che sia scritto con il segno dell’esclusivo -‘o’
30. ( x )[ f ( x ) ⊕ ~ f ( x )], dove il simbolo “⊕” significa esclusivo-o
in quale forma sarebbe pienamente esaustivo e quindi nomologico in senso stretto. (Reichenbach, p. 376)

Nella riga (30) la “(x)” significa “per tutti” o “per ogni”, una forma usata da Russell e Reichenbach; oggi il simbolismo è di solito{\displaystyle \forall} x . Quindi un esempio dell’espressione sarebbe simile a questo:

  • maiale ): ( Mosche ( maiale ) ⊕ ~ Mosche ( maiale ))
  • (Per tutti i casi di “maiale” visto e non visto): (“Il maiale vola” o “Il maiale non vola” ma non entrambi contemporaneamente)

Formalisti contro intuizionisti

Dalla fine del 1800 fino agli anni ’30, infuriò un aspro e persistente dibattito tra Hilbert ei suoi seguaci contro Hermann Weyl e LEJ Brouwer . La filosofia di Brouwer, chiamata intuizionismo , iniziò sul serio con Leopold Kronecker alla fine del 1800.

A Hilbert non piacevano molto le idee di Kronecker:

Kronecker ha insistito sul fatto che non ci potrebbe essere esistenza senza costruzione. Per lui, come per Paul Gordan [un altro anziano matematico], la dimostrazione di Hilbert della finitezza della base del sistema invariante semplicemente non era matematica. Hilbert, d’altra parte, per tutta la vita insisterà sul fatto che se si può dimostrare che gli attributi assegnati a un concetto non porteranno mai a una contraddizione, l’esistenza matematica del concetto è quindi stabilita (Reid p. 34)

Era sua affermazione [di Kronecker] che non si potesse dire che nulla avesse un’esistenza matematica a meno che non potesse essere effettivamente costruito con un numero finito di numeri interi positivi (Reid p. 26)

Il dibattito ha avuto un profondo effetto su Hilbert. Reid indica che il secondo problema di Hilbert (uno dei problemi di Hilbert della Seconda Conferenza Internazionale di Parigi nel 1900) si è evoluto da questo dibattito (corsivo nell’originale):

Nel suo secondo problema, [Hilbert] aveva chiesto una dimostrazione matematica della coerenza degli assiomi dell’aritmetica dei numeri reali.
Per mostrare il significato di questo problema, ha aggiunto la seguente osservazione:
“Se a un concetto vengono assegnati attributi contraddittori, dico che matematicamente il concetto non esiste ” (Reid p. 71)

Pertanto, Hilbert stava dicendo: “Se p e ~ p sono entrambi dimostrati veri, allora p non esiste”, e stava quindi invocando la legge del terzo escluso espressa nella forma della legge di contraddizione.

E infine i costruttivisti… hanno ristretto la matematica allo studio delle operazioni concrete su strutture finite o potenzialmente (ma non effettivamente) infinite; le totalità infinite completate… furono respinte, così come le prove indirette basate sulla Legge del Mezzo Escluso. I più radicali tra i costruttivisti erano gli intuizionisti, guidati dall’ex topologo LEJ Brouwer (Dawson p. 49)

Il rancoroso dibattito continuò dall’inizio del 1900 fino agli anni ’20; nel 1927 Brouwer si lamentava di “polemizzare contro di esso [l’intuizionismo] con toni beffardi” (Brouwer in van Heijenoort, p. 492). Ma il dibattito fu fecondo: ne risultò Principia Mathematica (1910-1913), e quell’opera diede una definizione precisa alla legge del terzo escluso, e tutto ciò fornì un quadro intellettuale e gli strumenti necessari ai matematici del primo Novecento :

Dal rancore, e in parte generato da esso, sorsero diversi importanti sviluppi logici; L’assiomatizzazione della teoria degli insiemi di Zermelo (1908a), che fu seguita due anni dopo dal primo volume dei Principia Mathematica , in cui Russell e Whitehead mostrarono come, attraverso la teoria dei tipi: gran parte dell’aritmetica potesse essere sviluppata con mezzi logicisti (Dawson p. 49)

Brouwer ha ridotto il dibattito all’uso di prove progettate da prove “negative” o “inesistenza” rispetto a prove “costruttive”:

Secondo Brouwer, un’affermazione che un oggetto esiste con una data proprietà significa che, ed è dimostrato solo, quando è noto un metodo che almeno in linea di principio consentirà di trovare o costruire un tale oggetto …
Hilbert naturalmente non era d’accordo.
“le prove di pura esistenza sono state le pietre miliari più importanti nello sviluppo storico della nostra scienza”, ha affermato. (Reid pag. 155)
Brouwer ha rifiutato di accettare il principio logico del terzo escluso, la sua argomentazione è stata la seguente:
“Supponiamo che A sia l’affermazione “Esiste un membro dell’insieme S avente la proprietà P. ” Se l’insieme è finito, è possibile, in linea di principio, esaminare ogni membro di S e determinare se esiste un membro di S con la proprietà P o che ogni membro di S manca della proprietà P .” (mancava una citazione di chiusura) Per gli insiemi finiti, quindi, Brouwer accettò come valido il principio del terzo escluso. Ha rifiutato di accettarlo per insiemi infiniti perché se l’insieme S è infinito, non possiamo, nemmeno in linea di principio, esaminare ogni membro dell’insieme. Se, nel corso del nostro esame, troviamo un membro del set con la proprietàP , si sostanzia la prima alternativa; ma se non troviamo mai un tale membro, la seconda alternativa non è ancora comprovata.
Poiché spesso i teoremi matematici vengono dimostrati stabilendo che la negazione ci implicherebbe in una contraddizione, questa terza possibilità suggerita da Brouwer metterebbe in discussione molte delle affermazioni matematiche attualmente accettate.
“Prendere il Principio del Mezzo Escluso dal matematico”, disse Hilbert, “equivale a… proibire al pugile l’uso dei pugni”.
“La possibile perdita non sembrava infastidire Weyl … Il programma di Brouwer era la cosa imminente, ha insistito con i suoi amici a Zurigo.” (Reid, pag. 149)

Nella sua conferenza del 1941 a Yale e nel successivo articolo, Gödel propose una soluzione: “che la negazione di una proposizione universale doveva essere intesa come affermare l’esistenza … di un controesempio” (Dawson, p. 157)

L’approccio di Gödel alla legge del terzo escluso consisteva nell’affermare che le obiezioni contro “l’uso di ‘definizioni impredicative'” avevano “portato più peso” della “legge del terzo escluso e relativi teoremi del calcolo proposizionale” (Dawson p. 156) . Propose il suo “sistema Σ… e concluse accennando a diverse applicazioni della sua interpretazione. Tra queste una prova della coerenza con la logica intuizionista del principio ~ (∀A: (A ∨ ~A)) (nonostante l’incoerenza del ipotesi ∃ LA: ~ (LA ∨ ~LA))” (Dawson, p. 157) (nessuna parentesi di chiusura era stata inserita)

Il dibattito sembrava indebolirsi: matematici, logici e ingegneri continuano a utilizzare la legge del terzo escluso (e della doppia negazione) nel loro lavoro quotidiano.

Definizioni intuizioniste della legge (principio) del terzo escluso

Quanto segue evidenzia il profondo problema matematico e filosofico che sta dietro cosa significhi “conoscere”, e aiuta anche a chiarire cosa implica la “legge” (cioè cosa significa realmente la legge). Emergono le loro difficoltà con la legge: che non vogliono accettare come vere implicazioni tratte da ciò che è non verificabile (non controllabile, inconoscibile) o dall’impossibile o dal falso. (Tutte le citazioni sono di van Heijenoort, corsivo aggiunto).

Brouwer offre la sua definizione di “principio del terzo escluso”; vediamo qui anche la questione della “testabilità”:

Sulla base della verificabilità appena accennata, vale, per le proprietà concepite all’interno di uno specifico sistema principale finito, il “principio del terzo escluso”, cioè il principio che per ogni sistema ogni proprietà è o corretta [richtig] o impossibile , e in particolare il principio della reciprocità delle specie complementari, cioè il principio che per ogni sistema la correttezza di una proprietà segue dall’impossibilità dell’impossibilità di questa proprietà. (335)

La definizione di Kolmogorov cita i due assiomi di negazione di Hilbert

  1. LA → (~ LA → SI )
  2. LA → SI ) → { (~ LA → SI ) → SI }
Il primo assioma di negazione di Hilbert, “tutto segue dal falso”, fece la sua comparsa solo con l’ascesa della logica simbolica, così come il primo assioma dell’implicazione… mentre… l’assioma in esame [assioma 5] afferma qualcosa sulle conseguenze di qualcosa impossibile: dobbiamo accettare B se il giudizio vero A è considerato falso…
Il secondo assioma di negazione di Hilbert esprime il principio del terzo escluso. Il principio è qui espresso nella forma in cui è usato per le derivazioni: se B segue da A così come da ~ A , allora B è vera. La sua forma abituale, “ogni giudizio è o vero o falso” è equivalente a quella data sopra”.
Dalla prima interpretazione della negazione, cioè del divieto di ritenere vero il giudizio, è impossibile ottenere la certezza che il principio del terzo escluso sia vero… Brouwer ha dimostrato che nel caso di tali giudizi transfiniti il ​​principio del terzo escluso non può essere considerato ovvio
nota 9: “Questa è la formulazione molto semplice di Leibniz (vedi Nouveaux Essais , IV,2). La formulazione ” A è B o non- B ” non ha nulla a che vedere con la logica dei giudizi.
nota 10: “Simbolicamente la seconda forma è espressa così
LA ∨ ~ LA

dove ∨ significa “o”. L’equivalenza delle due forme è facilmente dimostrabile (p. 421)

Esempi

Ad esempio, se P è la proposizione:

Socrate è mortale.

allora la legge del terzo escluso sostiene che la disgiunzione logica :

O Socrate è mortale, o non è vero che Socrate è mortale.

è vero solo in virtù della sua forma. Cioè, la posizione “di mezzo”, che Socrate non è né mortale né non-mortale, è esclusa dalla logica, e quindi o la prima possibilità ( Socrate è mortale ) o la sua negazione ( non è vero che Socrate è mortale ) deve essere vero.

Segue un esempio di argomento che dipende dalla legge del terzo escluso. Cerchiamo di dimostrarlo

esistono due numeri irrazionali {\displaystyle un}e{\displaystyle b}tale che{\displaystyle a^{b}}è razionale.

È risaputo che{\displaystyle {\sqrt {2}}}è irrazionale (vedi dimostrazione ). Considera il numero

{\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}.

Chiaramente (centro escluso) questo numero è razionale o irrazionale. Se è razionale, la dimostrazione è completa, e

{\displaystyle a={\sqrt {2}}}e{\displaystyle b={\sqrt {2}}}.

Ma se{\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}è irrazionale, allora lascia

{\displaystyle a={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}e{\displaystyle b={\sqrt {2}}}.

Quindi

{\displaystyle a^{b}=\sinistra({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\destra)^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{\sinistra ({\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {2}}\right)}={\sqrt {2}}^{2}=2},

e 2 è certamente razionale. Questo conclude la dimostrazione.

Nell’argomentazione di cui sopra, l’affermazione “questo numero è razionale o irrazionale” invoca la legge del terzo escluso. Un intuizionista , ad esempio, non accetterebbe questa argomentazione senza ulteriore supporto per tale affermazione. Ciò potrebbe presentarsi sotto forma di una prova che il numero in questione è effettivamente irrazionale (o razionale, a seconda dei casi); o un algoritmo finito che potrebbe determinare se il numero è razionale.

Dimostrazioni non costruttive sull’infinito

La dimostrazione di cui sopra è un esempio di una prova non costruttiva non consentita dagli intuizionisti:

La dimostrazione non è costruttiva perché non fornisce numeri specifici{\displaystyle un}e{\displaystyle b}che soddisfano il teorema ma solo due possibilità separate, una delle quali deve funzionare. (In realtà{\displaystyle a={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}è irrazionale ma non esiste una prova facile nota di questo fatto.) (Davis 2000: 220)

(Le prove costruttive dell’esempio specifico di cui sopra non sono difficili da produrre; per esempio{\displaystyle a={\sqrt {2}}}e{\displaystyle b=\log _{2}9}sono entrambi facilmente dimostrati irrazionali, e{\displaystyle a^{b}=3}; una dimostrazione ammessa dagli intuizionisti).

Per non costruttivo Davis intende che “una prova che esistono effettivamente entità matematiche che soddisfano determinate condizioni non dovrebbe fornire un metodo per esibire esplicitamente le entità in questione”. (pag. 85). Tali prove presumono l’esistenza di una totalità che è completa, una nozione respinta dagli intuizionisti quando estesa all’infinito – per loro l’infinito non può mai essere completato:

Nella matematica classica si verificano prove di esistenza non costruttive o indirette , che gli intuizionisti non accettano. Ad esempio, per dimostrare che esiste un n tale che P ( n ), il matematico classico può dedurre una contraddizione dall’assunzione per tutti gli n , non P ( n ). Sotto sia la logica classica che quella intuizionista, per reductio ad absurdum questo dà non per tutti n, non P ( n ). La logica classica permette di trasformare questo risultato in esiste un n tale che P ( n), ma non in generale l’intuizionista… il significato classico, che da qualche parte nella totalità infinita completata dei numeri naturali si verifica un n tale che P ( n ), non gli è disponibile, poiché non concepisce i numeri naturali come una totalità compiuta. (Kleene 1952: 49-50)

David Hilbert e Luitzen EJ Brouwer forniscono entrambi esempi della legge del terzo escluso estesa all’infinito. L’esempio di Hilbert: “l’affermazione che o ci sono solo un numero finito di numeri primi o ce ne sono infiniti” (citato in Davis 2000: 97); e Brouwer: “Ogni specie matematica è finita o infinita”. (Brouwer 1923 in van Heijenoort 1967: 336). In generale, gli intuizionisti consentono l’uso della legge del terzo escluso quando è confinata al discorso su insiemi finiti (insiemi), ma non quando è usata nel discorso su insiemi infiniti (ad esempio i numeri naturali). Così gli intuizionisti respingono assolutamente l’affermazione generica: “Per tutte le proposizioni P concernenti insiemi infiniti D : P o ~P ” (Kleene 1952:48).

Presunti controesempi alla legge del terzo escluso includono il paradosso del bugiardo o il paradosso di Quine . Alcune risoluzioni di questi paradossi, in particolare il dialeteismo di Graham Priest come formalizzato in LP, hanno la legge del terzo escluso come teorema, ma risolvono il Bugiardo come vero e falso. In questo modo, la legge del terzo escluso è vera, ma poiché la verità stessa, e quindi la disgiunzione, non è esclusiva, non dice quasi nulla se uno dei disgiunti è paradossale, o sia vero che falso.

Critiche

Molti sistemi logici moderni sostituiscono la legge del terzo escluso con il concetto di negazione come fallimento . Invece di essere vera o falsa una proposizione, una proposizione è vera o non può essere dimostrata vera. Queste due dicotomie differiscono solo nei sistemi logici che non sono completi . Il principio della negazione come fallimento è utilizzato come fondamento per la logica autoepistemica ed è ampiamente utilizzato nella programmazione logica . In questi sistemi, il programmatore è libero di affermare la legge del terzo escluso come un fatto vero, ma non è incorporata a priori in questi sistemi.

Anche matematici come LEJ Brouwer e Arend Heyting hanno contestato l’utilità della legge del terzo escluso nel contesto della matematica moderna.

Nella logica matematica

Nella moderna logica matematica , si è sostenuto che il mezzo escluso si traduca in una possibile autocontraddizione . Nella logica è possibile fare proposizioni ben costruite che non possono essere né vere né false; un esempio comune di ciò è il ” paradosso del bugiardo “, l’affermazione “questa affermazione è falsa”, che si sostiene non sia né vera né falsa. Arthur Prior ha sostenuto che The Paradox non è un esempio di un’affermazione che non può essere vera o falsa. La legge del terzo escluso vale ancora qui poiché la negazione di questa affermazione “Questa affermazione non è falsa”, può essere assegnata vera. Nella teoria degli insiemi, un tale paradosso autoreferenziale può essere costruito esaminando l’insieme “l’insieme di tutti gli insiemi che non contengono se stessi”. Questo insieme è definito in modo inequivocabile, ma porta a un paradosso di Russell : l’insieme contiene, come uno dei suoi elementi, se stesso? Tuttavia, nella moderna teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel , questo tipo di contraddizione non è più ammesso. Inoltre, i paradossi dell’autoreferenzialità possono essere costruiti senza nemmeno invocare la negazione, come nel paradosso di Curry .

Leggi analoghe

Alcuni sistemi di logica hanno leggi diverse ma analoghe. Per alcune logiche finite con valore n , esiste una legge analoga chiamata legge di n +1 escluso . Se la negazione è ciclica e “∨” è un “operatore massimo”, allora la legge può essere espressa nel linguaggio oggetto da (P ∨ ~P ∨ ~~P ∨ … ∨ ~…~P), dove ” ~…~” rappresenta n −1 segni di negazione e “∨ … ∨” n −1 segni di disgiunzione. È facile verificare che l’enunciato deve ricevere almeno uno degli valori di verità (e non un valore che non sia uno degli n ).

Altri sistemi rifiutano completamente la legge.


https://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_excluded_middle

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