Teoria della misura, cosa è: quella che…

Indice dei contenuti

La Teoria della misura.


28-XX

28-XX è la sigla della sezione primaria dello schema di classificazione MSC dedicata alla teoria della misura e alla integrazione.

Algebra di Borel

In matematica l’algebra di Borel, o più propriamente la σ-algebra di Borel, è la più piccola σ-algebra su un insieme dotato di struttura topologica che sia compatibile con la topologia stessa, ossia che contenga tutti gli aperti della topologia.

Algebra di insiemi

In matematica, un’algebra di insiemi su un insieme , è una famiglia di sottoinsiemi di  che abbia delle proprietà di chiusura rispetto ad alcune operazioni insiemistiche, in particolare l’operazione di unione finita e di passaggio al complementare. La struttura di algebra di insiemi è particolarmente utile in teoria della misura e probabilità, ed è alla base di tutte le nozioni di misurabilità, sia di insiemi che di funzioni. È inoltre utilizzata nella teoria delle rappresentazioni in algebra booleana.

Area

L’area è la misura dell’estensione di una regione bidimensionale di uno spazio, ovvero la misura dell’estensione di una superficie. Come per le altre misure di natura geometrica, per la precisione si dovrebbe distinguere fra la regione bidimensionale e la sua area. Spesso però, nel parlare comune ma anche in esposizioni scientifiche, il termine area e il termine superficie vengono usati indifferentemente.

Area con segno

Il termine area con segno si intende riferito a una misura a valori reali che si attribuisce a una figura piana delimitata da una curva chiusa orientata.

Capacità (matematica)

Una capacità, detta anche probabilità non additiva, è una funzione di insieme  definita su un’algebra  di sottoinsiemi di un insieme  che gode delle seguenti proprietà:

  • L’insieme vuoto ha misura nulla:
.
  • Monotonia: Se E1 ed E2 appartengono ad 

Classe monotona

Una classe monotona di sottoinsiemi di  è una classe non vuota  tale che:

  •  e ,
  •  e .

Continuità assoluta

In matematica, il concetto di continuità assoluta si applica a due concetti distinti.

Convergenza in misura

In analisi matematica, la convergenza in misura è un tipo di convergenza di successioni di funzioni, che esprime il fatto che l’insieme su cui la successione è lontana dalla funzione limite tende a diventare sempre più piccolo. Formalmente, una successione {fn} di funzioni da uno spazio di misura  ad  converge in misura ad f se, per ogni ε,

Delta-algebra

In matematica, una δ-algebra su di un insieme , è una famiglia di sottoinsiemi di  che sia chiusa rispetto all’operazione di intersezione al più numerabile e di passaggio al complementare.

Dimensione di Hausdorff

In matematica, la dimensione di Hausdorff è una dimensione frattale. Fu introdotta nel 1918 dal matematico Felix Hausdorff. Molti degli strumenti tecnici usati per calcolare la dimensione di Hausdorff di insiemi molto irregolari sono stati sviluppati da Abram Samojlovič Bezicovič. Per questa ragione la dimensione di Hausdorff è talvolta menzionata come dimensione di Hausdorff-Besicovitch.

Triangolo di Sierpiński. Uno spazio avente dimensione frattale ln 3 / ln 2, che è approssimativamente 1,58
Triangolo di Sierpiński. Uno spazio avente dimensione frattale ln 3 / ln 2, che è approssimativamente 1,58

Dimensione di Minkowski-Bouligand

Nella geometria frattale la dimensione di Minkowski-Boulingand, nota anche come dimensione di Minkowski o dimensione del conteggio delle celle, è un mezzo per determinare la dimensione frattale di un insieme S in uno spazio euclideo , o più in generale in uno spazio metrico.

Dimensione frattale

In geometria frattale la dimensione frattale, spesso indicata con D è una quantità statistica che dà un’indicazione di quanto completo appare un frattale per riempire lo spazio. La definizione di dimensione frattale non è unica, infatti vi sono diverse specifiche definizioni. Le più importanti sono la dimensione di Hausdorff, la dimensione di Minkowski-Bouligand, la dimensione di Rényi e la dimensione packing. In pratica viene spesso usato il conteggio del numero di box per la sua semplice implementazione.

Dimensione isoperimetrica

In matematica, la dimensione isoperimetrica di una varietà è una nozione di dimensione che cerca di cogliere come il comportamento a grande scala della varietà ricordi quello di uno spazio euclideo.

Disuguaglianza di Hardy-Littlewood

In matematica, la disuguaglianza di Hardy-Littlewood, il cui nome si deve a G. H. Hardy e John Edensor Littlewood, stabilisce che se  e  sono funzioni misurabili reali e non-negative che si annullano all’infinito, e se sono definite sullo spazio euclideo , allora:

Disuguaglianza di Prékopa-Leindler

In matematica, la disuguaglianza di Prékopa-Leindler è una disuguaglianza integrale strettamente correlata alla disuguaglianza inversa di Young, alla disuguaglianza di Brunn-Minkowski e ad altre numerose, importanti e classiche disuguaglianze in analisi. Il risultato porta il nome dei matematici ungheresi András Prékopa e László Leindler.

Formula di coarea

In matematica, più precisamente nell’ambito della teoria della misura, la formula di coarea permette di calcolare l’integrale del gradiente di una funzione in termini dell’integrale dei suoi insiemi di livello. Tale formula viene spesso utilizzata per problemi isoperimetrici.

Formula di Minkowski-Steiner

In matematica, la formula di Minkowski-Steiner è una formula che mette in relazione l’area superficiale e il volume di sottoinsiemi compatti dello spazio euclideo. Più precisamente, essa definisce l’area superficiale come la “derivata” di un volume chiuso definito in modo opportuno.

Funzione di Dirichlet

La funzione di Dirichlet è una funzione di variabile reale, che assume due soli valori, diversi a seconda che la variabile indipendente sia razionale o irrazionale. Questa funzione fu introdotta da Peter Dirichlet come esempio di funzione molto lontana dalle tradizionali funzioni note fino ad allora nell’analisi matematica.

Funzione di Thomae

La funzione di Thomae, da Carl Johannes Thomae, ha molti nomi, come la funzione popcorn, la funzione di Dirichlet modificata e la funzione Riemann. Questa funzione a valori reali è definita come

Grafico a punti della funzione su (0,1)
Grafico a punti della funzione su (0,1)

Funzione localmente integrabile

In matematica, una funzione localmente integrabile è una funzione che è integrabile su ogni sottoinsieme compatto del dominio.

Funzione misurabile

In analisi matematica, una funzione misurabile è una funzione tra due spazi misurabili compatibile con la loro struttura di σ-algebra.

Funzione semplice

In matematica, specialmente in analisi matematica, una funzione semplice è una funzione misurabile la cui immagine è finita.

Indice di Jaccard

L’indice di Jaccard, noto anche come coefficiente di similarità di Jaccard, è un indice statistico utilizzato per confrontare la similarità e la diversità di insiemi campionari.

Insieme di Vitali

In matematica, l’insieme di Vitali, che prende il nome dal matematico italiano Giuseppe Vitali, fornisce un esempio di sottoinsieme di  che non è misurabile da nessuna misura che sia positiva, invariante per traslazioni e sigma-finita. Per la costruzione dell’insieme di Vitali è indispensabile l’assioma della scelta.

Insieme non misurabile

Questa pagina offre una trattazione non tecnica di questo concetto. Per una trattazione tecnica vedi misura (matematica) e le varie costruzioni di insiemi non misurabili: insieme di Vitali, paradosso di Hausdorff, paradosso di Banach-Tarski.

Insieme nullo (teoria della misura)

Nella teoria della misura, un insieme nullo è un insieme trascurabile ai fini della misura usata. La classe degli insiemi nulli dipende dalla misura considerata. Quindi si dovrebbe parlare di insiemi m-nulli per la data misura m.

Insieme positivo e insieme negativo

In matematica, un insieme si dice positivo rispetto alla misura con segno  se ogni suo sottoinsieme ha misura non negativa.

Integrabilità uniforme

In analisi funzionale e teoria della misura, una famiglia di funzioni  è uniformemente integrabile se per ogni  esiste un  tale che per ogni  si verifica:

Integrale di Lebesgue

In analisi matematica, l’integrale di Lebesgue di una funzione, il cui nome è dovuto a Henri Lebesgue, è l’integrale rispetto a una misura definita su una sigma-algebra. La locuzione si riferisce anche al caso particolare in cui si integri una funzione definita su un sottoinsieme dell’asse reale, o in generale di uno spazio euclideo, rispetto alla misura di Lebesgue.

L' area sottesa ad una curva può essere interpretata come l' integrale di quella curva.
L’ area sottesa ad una curva può essere interpretata come l’ integrale di quella curva.

Lemma di Borel-Cantelli

Il Lemma di Borel-Cantelli è un risultato di teoria della probabilità e teoria della misura fondamentale per la dimostrazione della legge forte dei grandi numeri.

Lemma di Dynkin

Il lemma di Dynkin, altresì detto teorema delle classi monotone, è un enunciato importante in teoria della misura che ha, tra le varie conseguenze, il teorema di unicità delle probabilità. Deve il suo nome al matematico russo Evgenij Borisovič Dynkin.

Lemma di Fatou

In matematica, il lemma di Fatou è un lemma che stabilisce una disuguaglianza tra l’integrale di Lebesgue del limite inferiore di una successione di funzioni e il limite inferiore degli integrali di queste funzioni. Il lemma porta il nome del matematico francese Pierre Fatou.

Metodo degli indivisibili

In matematica il metodo degli indivisibili è un procedimento introdotto negli anni successivi al 1640 da Bonaventura Cavalieri per il calcolo di aree e volumi e che ha contribuito allo sviluppo del calcolo integrale. Esso si può far derivare dal principio di Cavalieri:

Illustrazione del principio di Cavalieri: due pile di gettoni del medesimo volume tagliate da sezioni piane parallele di uguale area.
Illustrazione del principio di Cavalieri: due pile di gettoni del medesimo volume tagliate da sezioni piane parallele di uguale area.

Misura (matematica)

In analisi matematica, una misura, talvolta detta misura positiva, è una funzione che assegna un numero reale a taluni sottoinsiemi di un dato insieme per rendere quantitativa la nozione della loro estensione. In particolare, si assegnano lunghezze a segmenti di curva, aree a superfici, volumi a figure tridimensionali e probabilità ad eventi.

Misura a valori di proiettore

In matematica, in particolare in analisi funzionale, una misura a valori di proiettore è una funzione definita su un certo sottoinsieme di un insieme fissato i cui valori restituiti sono proiettori autoaggiunti su uno spazio di Hilbert.

Misura complessa

In matematica, in particolare nella teoria della misura, una misura complessa è una generalizzazione del concetto di misura nella quale si ammette che possa assumere valori complessi.

Misura con segno

In matematica, una misura con segno è una generalizzazione del concetto di misura che può essere anche a valori negativi.

Misura deltiforme

In teoria della misura, la misura deltiforme o misura di Dirac è una misura che assume solo i valori 1 o 0. Sia  un insieme,  un insieme misurabile e . La misura deltiforme è la misura  su  tale per cui la misura di  è 1 se  e 0 altrimenti:

Misura di Haar

Nell’analisi matematica, la misura di Haar è un modo per assegnare un “volume invariante” ai sottoinsiemi di un gruppo topologico localmente compatto e di conseguenza definire un integrale per le funzioni su tale gruppo.

Misura di Jordan

In matematica, la misura di Peano-Jordan è un’estensione della nozione di dimensione di figure più complesse, per esempio, di un triangolo, disco, o un parallelepipedo.

Misura di Lebesgue

In matematica, la misura di Lebesgue è la misura solitamente utilizzata per i sottoinsiemi di uno spazio euclideo di dimensione n. Si tratta di una misura positiva completa che costituisce una generalizzazione dei concetti elementari di area e volume di sottoinsiemi dello spazio euclideo. Gli insiemi a cui è possibile assegnare una misura di Lebesgue sono detti misurabili secondo Lebesgue o Lebesgue-misurabili.

Misura di Radon

In matematica, una misura di Radon è una misura definita sulla sigma-algebra di uno spazio topologico di Hausdorff che è localmente finita e internamente regolare.

Misura discreta

In matematica, più precisamente nella teoria della misura, una misura sulla retta reale è detta misura discreta se il suo supporto è al più un insieme numerabile.

Misura esterna

In matematica, in particolare nella teoria della misura, una misura esterna è una funzione definita su tutti i sottoinsiemi di un dato insieme, a valori reali estesi, che soddisfa alcune condizioni tecniche supplementari.

Misura gaussiana

In matematica, una misura gaussiana è una misura di Borel su uno spazio euclideo finito-dimensionale Rn, strettamente correlata alla distribuzione normale in statistica. Esiste anche una generalizzazione a spazi infinito-dimensionali. Le misure gaussiane portano il nome del matematico tedesco Carl Friedrich Gauss. Una ragione per la quale le misure gaussiane sono così diffuse nella teoria della probabilità è il teorema del limite centrale. In parole povere, esso stabilisce che se una variabile casuale X è ottenuta sommando un gran numero N di variabili casuali indipendenti di ordine 1, allora X è di ordine  e la sua legge è approssimativamente gaussiana.

Misura logaritmicamente concava

In matematica, una misura di Borel μ in uno spazio euclideo n-dimensionale Rn è detta logaritmicamente concava se, dati due qualunque sottoinsiemi compatti A e B di Rn e dato λ tale che , si ha

Misura prodotto

In matematica, una misura prodotto è una misura definita sulla sigma-algebra prodotto di due spazi di misura.

Misura regolare

In matematica, una misura regolare su uno spazio topologico è una misura tale per cui ogni insieme misurabile può essere approssimato con un insieme misurabile aperto e con un insieme misurabile compatto.

Misura vettoriale

In matematica, una misura vettoriale è una generalizzazione del concetto di misura.

Paradosso di Banach-Tarski

Dimostrato per la prima volta da Stefan Banach e Alfred Tarski nel 1924, il paradosso di Banach-Tarski, o paradosso di Hausdorff-Banach-Tarski, è il famoso risultato del “raddoppiamento della sfera” con cui si stabilisce che, adoperando l’assioma della scelta, è possibile prendere una sfera nello spazio a 3 dimensioni, suddividerla in un insieme finito di pezzi non misurabili e, utilizzando solo rotazioni e traslazioni, riassemblare i pezzi in modo da ottenere due sfere dello stesso raggio dell’originale.

Punto di Lebesgue

In matematica, data una funzione Lebesgue integrabile , un punto di Lebesgue è un punto  nel dominio di  tale che:

Quasi ovunque

In matematica, il termine quasi ovunque definisce una proprietà che vale in tutti i punti di un insieme, tranne al più in un sottoinsieme di misura nulla. Naturalmente, affinché tale nozione sia ben posta, è necessario che sull’insieme in questione sia definito uno spazio di misura. In teoria della probabilità, si utilizza anche la locuzione quasi sicuramente per indicare lo stesso concetto. Nella letteratura scientifica più datata, il termine francese presque partout ha pure uso frequente.

Sigma additività

In matematica, l’additività e σ-additività di una funzione definita su dei sottoinsiemi di un insieme dato sono astrazioni delle proprietà della misura di un insieme: la “misura” dell’unione di due insiemi disgiunti non è altro che la somma delle due misure singole.

Sigma-algebra

In matematica, una σ-algebra o tribù su di un insieme , è una famiglia di sottoinsiemi di  che ha delle proprietà di chiusura rispetto ad alcune operazioni insiemistiche, in particolare l’operazione di unione numerabile e di passaggio al complementare. La struttura di σ-algebra è particolarmente utile nelle teorie della misura e probabilità ed è alla base di tutte le nozioni di misurabilità, sia di insiemi che di funzioni. Essa è un caso particolare di algebra di insiemi e, rispetto a quest’ultima, è utilizzata molto più ampiamente in Analisi.

Sistema pi

In matematica, un sistema pi, o anche -sistema, su un insieme  è una famiglia P non vuota di sottoinsiemi di , tale che l’intersezione di due elementi di P è ancora in P; ovvero P è stabile per intersezioni finite.

Spazio di misura

In analisi matematica uno spazio di misura è una struttura astratta utilizzata per formalizzare il concetto di misura, come generalizzazione delle idee elementari di lunghezza di una curva o area di una superficie.

Spazio misurabile

In matematica, uno spazio misurabile è una struttura astratta alla base di molte idee e nozioni dell’analisi, in particolare in teoria della misura, come quelle di funzione misurabile, insieme misurabile, misura, integrale, sistema dinamico. Gli spazi misurabili sono oggetto della Matematica sin dal XIX secolo, quando si iniziò uno studio sistematico degli oggetti matematici connessi con l’idea di integrale. Tuttavia, è solo all’inizio del XX secolo che la attuale teoria della misura, e conseguentemente la nozione astratta di spazio misurabile, prende corpo.

Teorema del panino al prosciutto

Il teorema del panino al prosciutto, noto anche come teorema di Stone-Tukey, afferma che dati n oggetti in uno spazio n-dimensionale – di forme, dimensioni e posizioni qualsiasi – esiste sempre almeno un iperpiano (n-1)-dimensionale, in grado di bisecarli tutti simultaneamente. Si tratta di un importante risultato topologico noto anche come corollario al teorema di Borsuk-Ulam.

Teorema della convergenza dominata

In matematica, il teorema della convergenza dominata fornisce una condizione sufficiente sotto la quale il limite di una successione di funzioni commuta con l’operazione di integrazione.

Teorema della convergenza monotona

In matematica, per teorema della convergenza monotona si identificano diversi teoremi relativi alla convergenza di successioni o serie.

Teorema di Brunn-Minkowski

In matematica, il teorema di Brunn-Minkowski è una disuguaglianza che mette in relazione volumi di sottoinsiemi compatti di uno spazio euclideo. La versione originale del teorema di Brunn-Minkowski si applicava a insiemi convessi; la generalizzazione a insiemi compatti non convessi a cui ci riferiamo qui è dovuta a L. A. Lyusternik (1935).

Teorema di Carathéodory (teoria della misura)

In teoria della misura, il teorema di Carathéodory permette di ricavare uno spazio di misura quando si ha a disposizione una misura esterna.

Teorema di convergenza di Vitali

In analisi funzionale e teoria della misura, il teorema di convergenza di Vitali, il cui nome si deve a Giuseppe Vitali, è una generalizzazione del più noto teorema della convergenza dominata di Henri Lebesgue. Risulta utile quando non è possibile trovare la funzione “dominante” per la successione di funzioni considerata.

Teorema di decomposizione di Hahn

In matematica, il teorema di decomposizione di Hahn, il cui nome è dovuto al matematico austriaco Hans Hahn, afferma che dato uno spazio misurabile  e una misura con segno  definita sulla sigma-algebra , esistono due insiemi misurabili  e  in  tali che:

  •  e 
  • Per ogni  tale che  si verifica , ovvero  è un insieme positivo per .
  • Per ogni  tale che  si verifica , ovvero  è un insieme negativo per .

Teorema di densità di Lebesgue

In matematica, il teorema di densità di Lebesgue afferma che per ogni insieme Lebesgue-misurabile  la densità di  è pari 1 in quasi ogni punto di , dove la densità in un punto è il limite della misura dell’intersezione tra  e una palla centrata nel punto, diviso per la misura della palla, nel limite in cui quest’ultima ha un raggio che tende a zero.

Teorema di disintegrazione

In matematica, in particolare nell’ambito della teoria della misura e della teoria della probabilità, il teorema di disintegrazione definisce rigorosamente l’idea di una restrizione non banale della misura a un sottoinsieme di misura nulla dello spazio di misura che si utilizza.

Teorema di Egorov

In teoria della misura, il teorema di Egorov stabilisce una condizione per la convergenza uniforme di una successione di funzioni misurabili convergenti puntualmente. È stato dimostrato indipendentemente da Carlo Severini e Dmitrij Egorov, rispettivamente nel 1910 e 1911.

Teorema di Fubini

In analisi matematica, il teorema di Fubini, chiamato in onore del matematico italiano Guido Fubini, fornisce una condizione sufficiente affinché sia possibile effettuare l’inversione dell’ordine di integrazione. Una delle più note applicazioni del teorema è la valutazione dell’integrale di Gauss, un risultato fondamentale per la teoria della probabilità.

Teorema di Hahn-Kolmogorov

In teoria della misura, il teorema di Hahn-Kolmogorov stabilisce che data un’algebra di sottoinsiemi di un insieme X, ed una funzione a valori reali non negativi, nulla sul vuoto, e numerabilmente additiva, esiste un’unica misura che la estende alla σ-algebra generata dall’algebra di partenza.

Teorema di Lebesgue

In analisi matematica, il teorema di Lebesgue o teorema di differenziazione di Lebesgue è un teorema che stabilisce l’equivalenza tra una funzione e la derivata del suo integrale. Si può considerare una estensione del teorema fondamentale del calcolo integrale al caso di funzioni integrabili secondo Lebesgue.

Teorema di Radon-Nikodym

In matematica, in particolare in teoria della misura, il teorema di Radon-Nikodym è un risultato di notevole importanza nell’ambito delle misure assolutamente continue.

Teorema di Vitale

In matematica, il teorema di Vitale o disuguaglianza di Brunn-Minkowski casuale è un teorema dovuto a Richard Vitale che generalizza la disuguaglianza di Brunn-Minkowski classica, che vale per i sottoinsiemi compatti di uno spazio euclideo n-dimensionale Rn, a insiemi compatti casuali.

Volume

Il volume è la misura dello spazio occupato da un corpo. Viene valutato ricorrendo a molte diverse unità di misura. L’unità adottata dal Sistema Internazionale è il metro cubo, simbolo .

Quattro recipienti di diverso volume. Da sinistra verso destra: 250 mL, 1 L, 2 L, 3 L.
Quattro recipienti di diverso volume. Da sinistra verso destra: 250 mL, 1 L, 2 L, 3 L.

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