Teoria algebrica dei numeri, cosa è: branca della…

La Teoria algebrica dei numeri.


Teoria algebrica dei numeri

La teoria algebrica dei numeri è una branca della teoria dei numeri che usa le tecniche dell’algebra astratta per studiare gli interi, i razionali e le loro generalizzazioni. In questo modo, i problemi teorici sui numeri possono essere espressi in termini di proprietà di oggetti algebrici come i campi algebrici di numeri e i loro anelli di interi, i campi finiti, e il campo delle funzioni. Queste proprietà, come se un anello ammetta fattorizzazione unica, il comportamento degli ideali e i gruppi di Galois dei campi, possono risolvere problemi di primaria importanza nella teoria dei numeri, come l’esistenza di soluzioni delle equazioni diofantee.

Copertina della prima edizione del Disquisitiones Arithmeticae, uno dei principali testi che fondarono la moderna teoria algebrica dei numeri
Copertina della prima edizione del Disquisitiones Arithmeticae, uno dei principali testi che fondarono la moderna teoria algebrica dei numeri

Dominio di Dedekind

In algebra astratta, un anello di Dedekind è una struttura algebrica che estende il concetto di fattorizzazione in numeri primi proprio dei numeri interi, e più in generale degli anelli: in un anello di Dedekind è possibile fattorizzare ciascun ideale nel prodotto di ideali primi. Il nome di questi anelli deriva da quello del matematico Richard Dedekind, che per primo utilizzò la definizione, anche se queste proprietà furono utilizzate già da Ernst Kummer nello studio del teorema di Fermat.

Estensione abeliana

In matematica, in particolare in teoria dei campi, una estensione abeliana è una estensione di Galois il cui gruppo di Galois è abeliano.

Estensione di Galois

In matematica, un’estensione di Galois è un’estensione algebrica  che soddisfa le condizioni descritte qui sotto. Il senso è che un’estensione di Galois ha un gruppo di Galois e obbedisce al teorema fondamentale della teoria di Galois. La teoria di Galois si occupa essenzialmente dello studio delle estensioni di Galois.

Intero algebrico

In algebra, un intero algebrico è un numero complesso che è radice di un polinomio monico e a coefficienti interi, cioè un polinomio del tipo

Intero di Eisenstein

In matematica, un intero di Eisenstein, dal nome del matematico Ferdinand Eisenstein, è un numero complesso della forma:

Interi di Eisenstein come punti di intersezione di un reticolo triangolare nel piano complesso
Interi di Eisenstein come punti di intersezione di un reticolo triangolare nel piano complesso

Intero di Gauss

Un intero di Gauss è un numero complesso le cui parti reale e immaginaria sono intere. L’insieme  degli interi di Gauss, dotato delle ordinarie operazioni di addizione e moltiplicazione tra numeri complessi, è un anello.

Interi di Gauss come punti di un reticolo sul piano complesso
Interi di Gauss come punti di un reticolo sul piano complesso

Moltiplicazione complessa

In matematica la moltiplicazione complessa è la teoria delle curve ellittiche che hanno anello degli endomorfismi strettamente più grande di  ed è anche la teoria delle varietà abeliane che hanno abbastanza endomorfismi in un senso più specifico.

Numero algebrico

In matematica, un numero algebrico è un numero reale o complesso che è soluzione di un’equazione polinomiale della forma:

Numero primo di Eisenstein

In matematica, un primo di Eisenstein è un intero di Eisenstein

Rappresentazione di alcuni numeri primi di Eisenstein.
Rappresentazione di alcuni numeri primi di Eisenstein.

Primi supersingolari

In matematica, in particolare in teoria algebrica dei numeri, un numero primo  è detto supersingolare per una curva ellittica  definita sui numeri razionali se la riduzione di  modulo  è una curva ellittica supersingolare sul campo finito .

Sistema di Eulero

In matematica, un sistema di Eulero è un dispositivo tecnico della teoria dei moduli di Galois, utilizzato per la prima volta intorno al 1990 da Victor Kolyvagin nel suo lavoro sui punti di Heegner sulle curve ellittiche modulari.
Questa nozione successivamente è stata oggetto di assiomatizzazione, in particolare per opera di Barry Mazur e Karl Rubin.

Somma di Gauss

In matematica, una somma di Gauss è un particolare tipo di somma finita delle radici dell’unità, ad esempio:

Teorema di Kronecker-Weber

In teoria algebrica dei numeri, il teorema di Kronecker–Weber afferma che ogni estensione abeliana finita del campo dei numeri razionali , cioè ogni campo di numeri il cui gruppo di Galois su  è abeliano, è un sottocampo di un campo ciclotomico, cioè di un campo ottenuto aggiungendo delle radici dell’unità ai numeri razionali. Il teorema fu enunciato per la prima volta da Leopold Kronecker nel 1853, sebbene la sua dimostrazione fosse incompleta nel caso di estensioni di grado una potenza di 2. Heinrich Martin Weber ha pubblicato un’altra dimostrazione nel 1886, con alcune lacune ed errori corretti da Olaf Neumann nel 1981. La prima dimostrazione completa è dovuta a David Hilbert e risale al 1896.

Teoria di Iwasawa

In teoria dei numeri, la teoria di Iwasawa è una teoria che segue il modulo di Galois, appartenente ai gruppi delle classi ideali, proposta per la prima volta da Kenkichi Iwasawa negli anni cinquanta del XX secolo come parte della teoria dei campi ciclotomici. Nei primi anni settanta, Barry Mazur prese in considerazione alcune generalizzazioni della teoria di Iwasawa per arrivare alle teorie Abeliane. Più di recente,, Ralph Greenberg ha proposto una teoria di Iwasawa per i motivi in geometria algebrica.

Teoria di Kummer

In matematica, la teoria di Kummer fornisce una descrizione di alcuni tipi di estensioni di campi corrispondenti all’aggiunta di radici -esime di elementi del campo di base.

Valutazione p-adica

In teoria dei numeri, per un dato numero primo , la valutazione p-adica di un intero  diverso da zero è il maggiore esponente  tale che  divida . La valutazione p-adica di 0 è per definizione infinito. È comunemente denotato come . Se  è un numero razionale ai minimi termini, così che  e  siano primi tra loro, allora  è uguale a  se  divide , oppure è uguale a  se  divide , mentre è uguale a 0 se non divide nessuno dei due. L’applicazione maggiore della valutazione p-adica è nella costruzione del campo dei numeri p-adici.


Da Wikipedia, l’enciclopedia libera.

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