Teoremi dell’algebra lineare: cos’è, tutto sull’argomento..

Regola di Cramer

La regola di Cramer o metodo di Cramer è un teorema di algebra lineare, che prende il nome dal matematico Gabriel Cramer, utile per risolvere un sistema di equazioni lineari usando il determinante, nel caso in cui il sistema abbia esattamente una soluzione.

Teorema di diagonalizzabilità

In algebra lineare, il teorema di diagonalizzabilità è uno strumento che fornisce una condizione necessaria e sufficiente affinché una matrice quadrata sia diagonalizzabile.

Teorema della dimensione per spazi vettoriali

In matematica, il teorema della dimensione per spazi vettoriali afferma che basi diverse di uno stesso spazio vettoriale hanno la stessa cardinalità, ovvero sono costituite dallo stesso numero di elementi. La cardinalità della base è inoltre pari alla dimensione dello spazio. 

Teoremi di Gershgorin

In matematica, i teoremi di Gershgorin sono alcuni teoremi sulla localizzazione degli autovalori di una matrice nel campo complesso. Il loro nome è dovuto al matematico bielorusso Semyon Aranovich Gershgorin. 

Teorema di Hamilton-Cayley

In algebra lineare, il teorema di Hamilton-Cayley, il cui nome è dovuto a William Rowan Hamilton e Arthur Cayley, asserisce che ogni trasformazione lineare di uno spazio vettoriale è una radice del suo polinomio caratteristico, visto come polinomio a coefficienti numerici nell’anello delle trasformazioni lineari. 

Teorema di isomorfismo

In matematica ci sono vari teoremi di isomorfismo, che asseriscono generalmente che alcuni insiemi dotati di opportune strutture algebriche sono isomorfe. 

Teorema di Kronecker

Il teorema di Kronecker è un teorema di algebra lineare che permette di calcolare il rango di una matrice. 

Teorema di Laplace

In matematica, in particolare in algebra lineare, il teorema di Laplace o sviluppo di Laplace, il cui nome è dovuto a Pierre Simon Laplace, è una formula che permette di calcolare il determinante di una matrice (quadrata) con un procedimento ricorsivo. Lo sviluppo può essere eseguito per righe oppure per colonne. 

Teorema di Perron-Frobenius

Il teorema di Perron-Frobenius afferma che, se  è una matrice non negativa primitiva e irriducibile allora

  1. L’autovalore di modulo massimo  di  è reale positivo
  2. Esso è un autovalore semplice
  3. L’autovettore corrispondente ha tutte le componenti positive
  4. L’autovettore corrispondente è l’unico autovettore non negativo di 
  5. L’autovalore di modulo massimo, visto come funzione  della matrice , è una funzione strettamente crescente in ognuno dei suoi elementi: cioè, se  e , allora 

Teorema del rango

In algebra lineare, il teorema del rango, detto anche teorema di nullità più rango, o teorema della dimensione, afferma che la somma tra la dimensione dell’immagine e la dimensione del nucleo di una trasformazione lineare è uguale alla dimensione del dominio. In modo equivalente, la somma del rango e della nullità di una matrice è uguale al numero di colonne della matrice. 

Teorema di Rouché-Capelli

Il teorema di Rouché-Capelli è un teorema di algebra lineare che permette di caratterizzare l’insieme delle soluzioni di un sistema di equazioni lineari mediante il rango della matrice completa e della matrice incompleta.

Teorema di Schur-Horn

In matematica, in particolare in algebra lineare, il teorema di Schur-Horn caratterizza la diagonale di una matrice hermitiana con autovalori dati. 

Teorema spettrale

In algebra lineare e analisi funzionale il teorema spettrale si riferisce a una serie di risultati relativi agli operatori lineari oppure alle matrici. In termini generali il teorema spettrale fornisce condizioni sotto le quali un operatore o una matrice possono essere diagonalizzati, cioè rappresentati da una matrice diagonale in una base. 

Teorema di Sylvester

In algebra lineare il teorema di Sylvester permette di classificare i prodotti scalari su uno spazio vettoriale di dimensione finita tramite un invariante numerico, che nel caso reale è la segnatura mentre nel caso complesso è il rango. 

Teorema delle radici complesse coniugate

In matematica, il teorema della radice complessa coniugata afferma che se  è un polinomio in una variabile a coefficienti reali e  è una sua radice (con  e  numeri reali), allora il complesso coniugato  è anch’esso una radice di .

Ne consegue da questo (e dal teorema fondamentale dell’algebra) che se il grado di un polinomio reale è dispari, deve avere almeno una radice reale. Questo fatto può essere dimostrato anche utilizzando il teorema dei valori intermedi.


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