Teoremi della geometria piana

Teoremi della geometria piana: tutto sull’argomento

Teorema di Alasia

In matematica, il teorema di Alasia è un risultato riguardante la geometria del triangolo. Il suo enunciato è:

Siano Ω, Ω’ i punti di Brocard del triangolo ABC. Allora:

Teorema degli angoli opposti al vertice

Angoli opposti ai vertici

Angoli opposti ai verticiIl teorema degli angoli opposti al vertice è un teorema che afferma:

Due angoli opposti al vertice sono sempre congruenti.

In pratica afferma che date due rette intersecanti, i quattro angoli formantisi sono sempre congruenti a due a due, quando opposti al vertice.

Il caso estremo è quello di due rette perpendicolari, che invece formano 4 angoli di 90° gradi, dove, invece, tutti e 4 gli angoli sono congruenti

Primo teorema sull’angolo esterno

Dimostrazione del teorema dell'angolo esterno

Dimostrazione del teorema dell’angolo esternoIl primo teorema sull’angolo esterno è uno dei principali teoremi della geometria euclidea.

In qualsiasi triangolo, ogni angolo esterno è maggiore di ciascuno degli angoli interni non adiacenti.

Secondo teorema dell’angolo esterno

Angolo esterno

Angolo esternoIl Secondo teorema dell’angolo esterno, anche detto Teorema dell’angolo esterno (somma), spiega con una semplice dimostrazione che in un triangolo qualsiasi, l’angolo esterno corrispondente ad uno degli angoli interni è congruente alla somma degli altri due angoli interni. In formula, α=β+γ.

Teorema sugli archi congruenti

Il teorema sugli archi congruenti asserisce che in una circonferenza ad archi congruenti corrispondono angoli al centro congruenti

Teorema di Barbier

In matematica, il teorema di Barbier è un teorema di geometria euclidea, dimostrato da Joseph Emile Barbier, che afferma che le curve di larghezza costante  hanno perimetro pari a π l.

Teorema del baricentro del triangolo

Teorema del baricentro del triangolo

Teorema del baricentro del triangoloIl teorema del baricentro del triangolo fa parte della geometria elementare e consegue dal teorema di Talete.

Teorema della bisettrice

Il teorema della bisettrice dell’angolo interno di un triangolo è un teorema della geometria elementare che è una particolare conseguenza del teorema di Talete.

Teorema di Bolyai-Gerwien

In geometria, il teorema di Bolyai-Gerwien – anche conosciuto come il teorema di Wallace-Bolyai-Gerwien, – afferma che

Teorema di Ceva

Il teorema di Ceva è un noto teorema in geometria elementare. Deve il suo nome a Giovanni Ceva, che ne diede dimostrazione nella sua opera De lineis rectis se invicem secantibus, statica constructio del 1678, anche se il primo a dimostrarlo fu Yusuf al-Mu’tamin ibn Hud, attorno all’XI secolo. Si definisce ceviana una retta che congiunge un vertice con un punto del lato opposto di un triangolo. Il teorema fornisce una condizione necessaria e sufficiente affinché tre ceviane si incontrino in uno stesso punto.

Teorema della corda

In trigonometria, il teorema della corda esprime la lunghezza della corda tracciata lungo una circonferenza e l’angolo sotteso dalla corda stessa. Data una circonferenza di raggio , e una corda tracciata tra due punti  e  della circonferenza, l’angolo sotteso dalla corda stessa con vertice al centro della circonferenza è detto angolo al centro; ciascun angolo sotteso dalla corda e con vertice sulla circonferenza è detto angolo alla circonferenza

Teorema delle corde

Euclide, Elementi, Libro III, Proposizione 35: "Se in un cerchio due corde si tagliano fra loro, il rettangolo compreso dalle parti dell'una è uguale al rettangolo compreso dalle parti dell'altra"

Euclide, Elementi, Libro III, Proposizione 35: “Se in un cerchio due corde si tagliano fra loro, il rettangolo compreso dalle parti dell’una è uguale al rettangolo compreso dalle parti dell’altra”In geometria, il Teorema delle Corde è un teorema che dimostra che se in un cerchio due corde si intersecano fra loro, allora il rettangolo con lati congruenti alle due parti di una corda ha la stessa area del rettangolo con lati congruenti alle due parti dell’altra. Questo teorema compare negli Elementi di Euclide, più precisamente è la Proposizione 35 del Libro III.

Teorema del coseno

In geometria, il teorema del coseno esprime la relazione tra la lunghezza dei lati di un triangolo e il coseno di uno dei suoi angoli. Può essere considerato una generalizzazione del teorema di Pitagora al caso di triangoli non rettangoli. Questo teorema, dimostrato già dal persiano Al-Kashi, è noto anche, specialmente in Francia, come teorema di Al-Kashi o anche, specialmente in Italia, come teorema di Carnot, dal nome del matematico francese Lazare Carnot, anche se in realtà il teorema è stato reso popolare dal francese François Viète.

Criteri di congruenza dei triangoli

In geometria, i criteri di congruenza dei triangoli sono un postulato e due teoremi tramite i quali è possibile dimostrare la congruenza fra triangoli, nel caso alcuni loro angoli o lati siano congruenti. I criteri di congruenza sono tre, a cui se ne può aggiungere un quarto che altro non è che una formulazione alternativa del secondo.

Teorema di Desargues

Il teorema di Desargues, o dei triangoli omologici, è un teorema di geometria proiettiva che prende il nome dal matematico francese Girard Desargues.

Primo teorema di Euclide

In geometria, il primo teorema di Euclide è un teorema attinente al triangolo rettangolo che deriva, assieme al secondo, dalla proposizione 8 del VI libro degli Elementi di Euclide; nei testi scolastici può essere enunciato in due modi diversi a seconda della proprietà che si desidera sottolineare:

  1. mediante l’equiestensione tra figure:
  2. mediante relazioni tra segmenti:

Secondo teorema di Euclide

In geometria, il secondo teorema di Euclide è un teorema concernente il triangolo rettangolo che deriva, assieme al primo, dalla proposizione 8 del VI libro degli Elementi di Euclide.

Teorema di Eulero (geometria)

Rappresentazione del problema di Eulero.

Rappresentazione del problema di Eulero.In geometria euclidea, il nome di teorema di Eulero identifica almeno due teoremi diversi.

Teorema della farfalla

Teorema della farfalla
Teorema della farfallaIn matematica, e in particolare in geometria euclidea, il teorema della farfalla afferma che:

sia  il punto medio di una corda  di un cerchio e siano  e  altre due corde passanti per  e siano  e  i punti di intersezione tra le corde  e  e la corda  rispettivamente. Allora  sarà il punto medio di .

Teorema di Feuerbach

Il teorema di Feuerbach è un teorema di geometria piana relativo alle proprietà del cerchio dei nove punti o cerchio di Feuerbach.

Teorema di Johnson

Teorema di Johnson
Teorema di JohnsonIn geometria, il teorema di Johnson è un teorema sulle circonferenze relativamente semplice, ma formulato da Roger Johnson soltanto nel 1916; esso afferma che:

Date tre circonferenze di egual raggio r intersecantesi tutte e tre in sol punto, i loro altri tre altri punti di intersezione giacciono anch’essi su una circonferenza di raggio r

Teorema della mediana

In geometria piana, il teorema della mediana è un teorema che lega la lunghezza della mediana in un triangolo alle lunghezze dei tre lati. È attribuito ad Apollonio. La sua dimostrazione si può ricondurre alla legge del coseno o teorema di Carnot.

Teorema di Menelao

Il teorema di Menelao è un noto teorema in geometria elementare, attribuito al matematico Menelao di Alessandria, che tratta dei triangoli nella geometria piana.

Teorema di Morley

Il teorema di Morley afferma che se ogni angolo del triangolo viene diviso in tre parti uguali da due trisettrici, allora il triangolo in viola è un triangolo equilatero.

Il teorema di Morley afferma che se ogni angolo del triangolo viene diviso in tre parti uguali da due trisettrici, allora il triangolo in viola è un triangolo equilatero.In geometria, il teorema di Morley stabilisce che i punti di intersezione delle coppie di trisettrici degli angoli adiacenti allo stesso lato di un qualsiasi triangolo, sono i vertici di un triangolo equilatero, chiamato “primo triangolo di Morley” o più semplicemente “triangolo di Morley”. Tale teorema fu enunciato per la prima volta nel 1899 dal matematico anglo-americano Frank Morley. Il teorema, chiamato anche “miracolo di Morley”, per la sua generalità e semplicità, è stato oggetto poi di varie generalizzazioni, una delle quali mostra in particolare che, se tutte le trisecanti si intersecano, si ottengono altri quattro triangoli equilateri.
Il teorema di Morley è valido solo nell’ambito della geometria euclidea e non sussiste quindi né in quella sferica né in quella iperbolica.

Teorema di Napoleone

Illustrazione del teorema nel caso di costruzione esterna
Illustrazione del teorema nel caso di costruzione esternaIl teorema di Napoleone è un teorema di geometria del triangolo, e asserisce che

i baricentri dei triangoli equilateri, costruiti tutti esternamente o tutti internamente sui lati di un triangolo qualsiasi, formano un triangolo equilatero.

Teorema di Nepero

Un triangolo generico con le comuni notazioni

Un triangolo generico con le comuni notazioniIn matematica, il teorema di Nepero afferma le seguenti identità, utilizzando la notazione standard per gli elementi di un triangolo:

Teorema di Pappo

Esposizione grafica
Esposizione graficaIl teorema di Pappo afferma che, dati A, B e C punti su di una retta, aventi il corrispettivo A’, B’ e C’ su di un’altra retta che interseca la prima in un punto O, allora:

se C’B è parallelo a B’C, e C’A è parallelo a A’C, allora anche BA’ sarà parallelo ad AB’.

Teorema di Pascal

Teorema di Pascal

Teorema di PascalIn geometria, il teorema di Pascal, di Blaise Pascal, è uno dei teoremi base della teoria delle coniche. Premesso che sei punti ordinati  di una conica individuano un esagono inscritto in essa, il teorema di Pascal fornisce una condizione grafica caratteristica affinché un dato esagono sia inscrivibile in una conica.

Teorema di Pick

Poligono costruito su una griglia di punti. Applicando il teorema di Pick si ha: i = 39, p = 14, da cui A = 39 + 14/2 - 1 = 39 + 7 - 1 = 45.

Poligono costruito su una griglia di punti. Applicando il teorema di Pick si ha: i = 39, p = 14, da cui A = 39 + 14/2 – 1 = 39 + 7 – 1 = 45.Il teorema di Pick è un teorema di geometria che permette di calcolare l’area di un poligono semplice i cui vertici hanno coordinate intere.

Teorema di Pitagora

In un triangolo rettangolo la somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti (blu e rosso) è uguale all'area del quadrato costruito sull'ipotenusa (viola).

In un triangolo rettangolo la somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti (blu e rosso) è uguale all’area del quadrato costruito sull’ipotenusa (viola).

Il teorema di Pitagora è un teorema della geometria euclidea che stabilisce una relazione fondamentale tra i lati di un triangolo rettangolo.

Quello che modernamente conosciamo come teorema di Pitagora viene solitamente attribuito al filosofo e matematico Pitagora. In realtà il suo enunciato (ma non la sua dimostrazione) era già noto ai Babilonesi[1]. Viene a volte affermato che il teorema di Pitagora fosse noto agli antichi Egizi: Carl Boyer esclude questa ipotesi, basandosi sull’assenza del teorema dai papiri matematici rinvenuti.[2] Era conosciuto anche in Cina e sicuramente in India, come dimostrano molte scritture fra cui lo Yuktibhāṣā e gli Śulbasūtra. La dimostrazione del teorema è invece con ogni probabilità successiva a Pitagora.

In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente all’unione dei quadrati costruiti sui cateti.

oppure:

In ogni triangolo rettangolo l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti.

L’uso dell’aggettivo uguale invece di equivalente richiede di riferirsi o alle aree dei quadrati “costruiti” sui cateti e sull’ipotenusa (area intesa come misura dell’estensione di una superficie), oppure ai quadrati delle lunghezze dei cateti/quadrato della lunghezza dell’ipotenusa. La possibile ambivalenza della lingua italiana deriva dal fatto che, in assenza del termine costruito, la parola quadrato può definire sia la superficie della figura geometrica in quanto tale, sia la generica operazione di elevamento alla seconda potenza.

In altre lingue, segnatamente in inglese, francese e spagnolo, nell’enunciato del teorema di Pitagora si preferisce parlare di quadrati (delle lunghezze) dei cateti e dell’ipotenusa, il che consente il semplice utilizzo dei termini equal (in inglese), égal (in francese), igual (in spagnolo). Per esempio, in spagnolo, el cuadrado de la hipotenusa significa, senza ambiguità, il “quadrato (della misura) dell’ipotenusa”.

Teorema delle rette parallele

Il teorema delle rette parallele, molto utilizzato nella geometria euclidea, è famoso anche perché la sua dimostrazione è per assurdo.

Teorema dei seni

Un triangolo generico con le comuni notazioni

Un triangolo generico con le comuni notazioniIn trigonometria, il teorema dei seni esprime una relazione di proporzionalità diretta fra le lunghezze dei lati di un triangolo e i seni dei rispettivi angoli opposti.

Teorema delle tangenti e delle secanti

Il Teorema delle tangenti e delle secanti è un teorema della geometria euclidea che descrive il rapporto tra il segmento tangente a una circonferenza e i segmenti intersecati dalla circonferenza su una secante.

Teorema di Erone

Rappresentazione grafica del teorema di Erone.

Rappresentazione grafica del teorema di Erone.Il problema di Erone è quello di determinare il percorso minimo che si deve compiere per andare da un punto Q ad un punto R dovendo toccare una certa retta r esterna ai due punti. Questo equivale a cercare un punto P sulla retta che minimizza la somma delle distanze PQ+PR.

Teorema di Monsky

Il teorema di Monsky stabilisce che non è possibile scomporre un quadrato in un numero dispari di triangoli equivalenti.

Teorema di Talete

In geometria, il teorema di Talete è un teorema riguardante i legami tra i segmenti omologhi creati sulle trasversali da un fascio di rette parallele.

Teorema di Talete (cerchio)

In geometria, il teorema di Talete è un teorema riguardante un triangolo inscritto in un cerchio.

Teorema giapponese

Un esempio di triangolazione di un poligono ciclico. Secondo il teorema giapponese, la somma dei raggi dei cerchi inscritti è costante.

Un esempio di triangolazione di un poligono ciclico. Secondo il teorema giapponese, la somma dei raggi dei cerchi inscritti è costante.In geometria piana, il cosiddetto teorema giapponese afferma che, qualsiasi sia la triangolazione di un poligono ciclico convesso, la somma dei raggi dei cerchi inscritti ai triangoli è costante. È anche vero l’inverso del teorema: se la somma dei raggi dei cerchi inscritti in una triangolazione risulta essere indipendente dalla triangolazione scelta, allora il poligono è ciclico e pertanto inscrivibile ad una circonferenza.

Teorema di Tolomeo

Il Teorema di Tolomeo è un teorema della geometria euclidea che stabilisce la relazione fra i lati e le diagonali di un quadrilatero ciclico, ovvero un quadrilatero inscritto in una circonferenza. Il teorema compare nel libro primo dell’Almagesto di Claudio Tolomeo.


Tratto da Wikipedia:

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