Strutture algebriche

Strutture algebriche: tutto sull’argomento

Struttura algebrica

In matematica, una struttura algebrica è un insieme , chiamato insieme sostegno, munito di una o più operazioni, ciascuna con la propria arietà: nullarie, unarie, binarie, ecc., e che sono caratterizzate dal poter avere proprietà quali commutatività, associatività e distributività. Nella pratica della matematica e in alcune sue applicazioni si utilizzano svariate strutture algebriche. Risulta quindi opportuno studiare le strutture algebriche con sistematicità, classificarne i diversi tipi e chiarire le relazioni che le collegano.

Struttura relazionale

In matematica per struttura relazionale si intende una struttura matematica tra le cui componenti compare qualche relazione matematica, oppure qualche funzione o qualche famiglia che non può considerarsi un’operazione algebrica o una legge di composizione esterna.

Algebra (teoria degli anelli)

In matematica, in particolare nella teoria degli anelli, un’algebra su di un anello commutativo è una generalizzazione del concetto di algebra su campo in cui il campo è rimpiazzato da un anello commutativo.

Algebra di Clifford

In algebra lineare, un’algebra di Clifford è una struttura algebrica che generalizza la nozione di numero complesso e di quaternione. Lo studio delle algebre di Clifford è strettamente legato alla teoria delle forme quadratiche, e ha importanti applicazioni nella geometria e nella fisica teorica. Il loro nome deriva da quello del matematico William Kingdon Clifford che le introdusse nel 1878, partendo dallo studio di altri due oggetti algebrici analoghi, l’algebra dei quaternioni e le algebre di Grassmann.

Algebra di Griess

In matematica, l’algebra di Griess è un’algebra su campo non associativa e commutativa su uno spazio vettoriale reale a 196884 dimensioni il cui gruppo di automorfismi è il gruppo mostro. Essa prende il nome dal matematico R. L. Griess, che l’ha costruita nel 1980 e l’ha utilizzata nel 1982 per costruire il gruppo mostro.

Algebra di Jordan

In algebra astratta un’algebra di Jordan è un’algebra su campo, non necessariamente associativa i cui prodotti soddisfano i seguenti assiomi:

  1.  ;
  2.  ;

Algebra di Lie

In matematica, un’algebra di Lie è una struttura algebrica usata principalmente per lo studio di oggetti geometrico analitici come i gruppi di Lie e le varietà differenziabili.

Algebra di Lie graduata

In matematica, un’algebra di Lie si dice graduata quando è dotata di una gradazione compatibile con le parentesi di Lie. In altre parole, essa è un’algebra di Lie che è un’algebra graduata non-associativa nel quadro dell’operazione di commutazione.

Algebra esterna

L’algebra di Grassmann o algebra esterna di un dato spazio vettoriale  sopra un campo  è una certa algebra associativa dotata di elemento neutro, generata dalla definizione di un prodotto esterno o prodotto wedge scritto come . È denotata con e contiene come sottospazio. Le algebre esterne sono molto utilizzate nella geometria differenziale e nella geometria algebrica oltre che nell’algebra multilineare e nei settori collegati.

Algebra graduata

In matematica, in particolare nell’algebra astratta, un’algebra graduata è un’algebra su campo, con un ulteriore pezzo della struttura, conosciuta come una gradazione.

Algebra su campo

In matematica, per algebra su un campo K, o K-algebra, si intende uno spazio vettoriale A sopra K munito di un’operazione binaria “compatibile” con le altre leggi di composizione chiamata solitamente “moltiplicazione” degli elementi di A.

Algebra supercommutativa

In matematica e in fisica teorica un’algebra supercommutativa è una superalgebra in cui per ogni coppia x e y di elementi omogenei si ha:

Algebra universale

L’algebra universale è il settore della matematica che studia le idee comuni a tutte le strutture algebriche. Essa si collega ai vari argomenti della sezione 08-XX dello schema di classificazione MSC2000.

Anello (algebra)

In matematica, in particolare in algebra astratta, un anello è una struttura algebrica composta da un insieme su cui sono definite due operazioni binarie, chiamate somma e prodotto, indicate rispettivamente con  e , che godono di proprietà simili a quelle verificate dai numeri interi. La parte della matematica che li studia è detta teoria degli anelli.

Associatività

In matematica, l’associatività è una proprietà che può avere un’operazione binaria. Significa che l’ordine di valutazione è irrilevante se l’operazione appare più di una volta in un’espressione. Detta in altro modo, non sono richieste parentesi per un’operazione associativa. Si consideri ad esempio l’uguaglianza

(5+2)+1 = 5+(2+1)

Campo (matematica)

In matematica, un campo è una struttura algebrica composta da un insieme non vuoto  e da due operazioni binarie interne, chiamate somma e prodotto e indicate di solito rispettivamente con  e . Queste godono di proprietà assimilabili a quelle verificate da somma e prodotto sui numeri razionali o reali o anche complessi.

Commutatività

In matematica, un’operazione binaria  definita su un insieme  è commutativa se

Conucleo

In matematica, il conucleo di una trasformazione lineare tra spazi vettoriali  è lo spazio vettoriale quoziente , dove  è l’immagine di . La dimensione del conucleo è detta corango di .

Corpo (matematica)

In matematica, un corpo è una particolare struttura algebrica, che può essere considerata come intermedia fra quella di anello e quella di campo.

Distributività

In matematica, e in particolare nell’algebra, la distributività è una proprietà delle operazioni binarie che generalizza la ben nota legge distributiva valida per somma e prodotto tra numeri dell’algebra elementare.

Dominio d’integrità

In algebra, un dominio d’integrità è un anello commutativo con unità tale che  in cui il prodotto di due qualsiasi elementi non nulli è un elemento non nullo. I domini di integrità sono estensioni degli interi e forniscono un insieme naturale per lo studio della divisibilità.

Elemento assorbente

In matematica, un elemento assorbente è un particolare tipo di elemento di un insieme rispetto ad un’operazione binaria nel dato insieme. Il risultato della combinazione di un elemento assorbente con qualsiasi altro elemento dell’insieme è l’elemento assorbente stesso. Nella teoria dei semigruppi, l’elemento assorbente è chiamato elemento zero.

Elemento neutro

In matematica, e in particolare algebra astratta, l’elemento neutro è un elemento di un loop o di un monoide che “non modifica nulla” se posto sia a sinistra che a destra in un’operazione. Un elemento neutro per un’operazione è sia un elemento neutro a destra che un elemento neutro a sinistra di quell’operazione. È sinonimo di elemento neutro il termine unità in una delle sue accezioni.

Formula di Baker-Campbell-Hausdorff

In matematica, la formula di Baker–Campbell–Hausdorff è la soluzione dell’equazione:

Glossario delle strutture matematiche

Questo glossario delle strutture matematiche raccoglie, le principali strutture utilizzate in matematica e le tipologie di spazi su cui esse si basano. Per ogni struttura viene fornita una breve spiegazione, rimandando ad articoli specifici per la loro trattazione completa.

Gruppo (matematica)

 

Le mosse del cubo di Rubik formano un gruppo, chiamato il gruppo del cubo di Rubik.
Le mosse del cubo di Rubik formano un gruppo, chiamato il gruppo del cubo di Rubik.

In matematica un gruppo è una struttura algebrica formata dall’abbinamento di un insieme non vuoto con un’operazione binaria interna, che soddisfa gli assiomi di associatività, di esistenza dell’elemento neutro e di esistenza dell’inverso di ogni elemento.

Gruppoide (teoria delle categorie)

In matematica, un gruppoide è una struttura algebrica usata per generalizzare gruppi e azioni di gruppo.

Idempotenza

In informatica, in matematica, e in particolare in algebra, l’idempotenza è una proprietà delle funzioni per la quale applicando molteplici volte una funzione data, il risultato ottenuto è uguale a quello derivante dall’applicazione della funzione un’unica volta.

Left loop

Un left-loop è una struttura algebrica usata in matematica.

Loop (algebra)

Un loop è una struttura algebrica non associativa usata in matematica.

Magma (matematica)

Un magma è un insieme M in cui è definita una singola operazione binaria * che a ogni coppia di elementi a, b di M associa l’elemento a*b. L’unico assioma soddisfatto dall’operazione in un magma è quello di chiusura:

per ogni a, b appartenenti a M, l’elemento a*b appartiene ancora a M

Modulo (algebra)

In matematica, e in particolare in algebra, un modulo è una struttura algebrica che generalizza il concetto di spazio vettoriale richiedendo che gli scalari non costituiscano un campo ma un anello: un modulo su un anello A è quindi un gruppo abeliano M su cui è definita un’operazione che associa ad ogni elemento di A e ad ogni elemento di M un nuovo elemento di M.

Monoide

Nell’algebra astratta, una branca della matematica, un monoide è una struttura algebrica dotata dell’operazione binaria associativa e di un elemento neutro. I monoidi sono studiati nella teoria dei semigruppi in quanto sono semigruppi dotati di elemento neutro.

Nilpotente

In matematica, e in particolare in algebra, l’aggettivo nilpotente serve per caratterizzare vari tipi di entità.

Nucleo (matematica)

In matematica, in particolare nell’algebra, il nucleo di un omomorfismo è l’insieme dei punti che vengono annullati dalla funzione. Viene definito in modi diversi a seconda del contesto in cui è utilizzato; in generale è legato al concetto di funzione iniettiva. Uno dei casi più significativi è quello di mappe lineari tra gruppi o spazi vettoriali: il nucleo è l’insieme degli elementi del dominio aventi immagine nulla, cioè l’insieme degli elementi che vengono mandati in zero dall’applicazione.

Ordine (teoria degli anelli)

In matematica, un ordine nel senso della teoria degli anelli è un sottoanello  di un anello  che gode delle seguenti proprietà

  1.  è un’algebra di dimensione finita su ;
  2.  genera  su , cioè ;
  3.  è un -reticolo in .

Proprietà di cancellazione

In algebra, sono dette proprietà di cancellazione o di semplificazione le seguenti: sia  un gruppo; allora presi tre elementi di G  valgono le implicazioni

Proprietà di chiusura

In matematica, si dice che un’operazione  definita su un insieme non vuoto  verifica la proprietà di chiusura se:

Quasi-anello

In matematica un quasi-anello è una struttura algebrica più “debole” di un anello, cioè a dire, con assiomi meno restrittivi: più precisamente, non si richiede né che la somma sia commutativa né che la legge distributiva del prodotto rispetto alla somma valga da entrambi i lati.

Quasigruppo

In algebra astratta, un quasigruppo è una struttura algebrica “assomigliante” a un gruppo. Formalmente, un quasigruppo è un magma dove è sempre definita l’operazione di “divisione”.

Reticolo (matematica)

In matematica, un reticolo è un insieme parzialmente ordinato in cui ogni coppia di elementi ha sia un estremo inferiore (inf) che un estremo superiore (sup). I reticoli possono anche essere caratterizzati come strutture algebriche che soddisfano determinate identità. Poiché entrambe le definizioni possono essere usate convenientemente, la teoria dei reticoli può essere applicata sia dalla teoria dell’ordine che dalla teoria dell’algebra universale. I reticoli costituiscono uno dei rappresentanti più significativi di strutture che ammettono ordine così come le strutture algebriche, quali i semireticoli, le algebre di Heyting o le algebre booleane. Il termine reticolo deriva dalla rappresentazione dei diagrammi di Hasse.

Semianello

Un semianello è una struttura algebrica formata da un insieme  munito di due operazioni binarie, dette somma e prodotto e denotate rispettivamente con  , le quali verifichino le seguenti proprietà:

  1. Somma e prodotto sono operazioni associative: si ha cioè  e  per ogni terna  di elementi di ;
  2. Esiste un (unico) elemento neutro per la somma, indicato con . Ciò significa che comunque si scelga  in , vale ;
  3. Il prodotto è distributivo rispetto alla somma, vale a dire  e  per ogni scelta di  e  in .
  4. Per ogni  in .

Semigruppo

In matematica, un semigruppo è un insieme munito di un’operazione binaria associativa. In altre parole per semigruppo si intende una struttura algebrica espressa da una coppia (A,*) con A insieme e * funzione definita su tutto A × A a valori in A per la quale si ha

.

Semireticolo

In matematica un semireticolo è una struttura algebrica definibile come semigruppo commutativo idempotente. Una tale struttura si trova essere isomorfa ad un cosiddetto insieme semireticolato, insieme parzialmente ordinato nel quale ogni insieme di due elementi possiede massimo minorante. In effetti si può considerare la specie dei semireticoli come un impoverimento della più nota e importante specie dei reticoli e ciascuna di queste strutture algebriche risulta criptomorfa ad una struttura relazionale, precisamente a un insieme reticolato che ha come impoverimento un insieme semireticolato.

Spazio affine

Nell’approccio algebrico, lo spazio affine è una struttura matematica strettamente collegata a quella di spazio vettoriale. Intuitivamente, uno spazio affine si ottiene da uno spazio vettoriale facendo in modo che tra i suoi punti non ve ne sia uno, l’origine, “centrale” e “privilegiato” rispetto agli altri.

Spazio vettoriale

 

Uno spazio vettoriale è una collezione di oggetti, chiamati "vettori", che possono essere sommati e riscalati.
Uno spazio vettoriale è una collezione di oggetti, chiamati “vettori”, che possono essere sommati e riscalati.

In matematica, uno spazio vettoriale, anche detto spazio lineare, è una struttura algebrica composta da:

  • un campo, i cui elementi sono detti scalari;
  • un insieme, i cui elementi sono detti vettori;
  • due operazioni binarie, dette somma e moltiplicazione per scalare, caratterizzate da determinate proprietà.

Tavola di composizione

In algebra la tavola di composizione degli elementi di un insieme  rispetto ad una legge di composizione interna  è una tabella a doppia entrata in cui l’elemento che occupa la posizione ij è dato dalla composizione tramite  tra l’i-esimo elemento di S e il j-esimo:


Tratto da Wikipedia:

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