Somma Dedekind – Wikipedia

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In matematica, Somme Dedekind sono determinate somme di prodotti di a funzione a dente di segae sono dati da una funzione D di tre variabili intere. Dedekind li ha presentati per esprimere il equazione funzionale del Dedekind eta funzione. Successivamente sono stati molto studiati teoria dei numerie si sono verificati in alcuni problemi di topologia. Le somme di Dedekind hanno un gran numero di equazioni funzionali; questo articolo ne elenca solo una piccola parte.

Le somme Dedekind sono state introdotte da Richard Dedekind in un commento al frammento XXVIII di Bernhard Riemannle carte raccolte.

Definizione[edit]

Definisci il funzione a dente di sega




(

(

)

)
:

R



R



{\displaystyle (\!(\,)\!):\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}}

come

Allora lasciamo

essere definito da

i termini a destra sono i Somme Dedekind. Per il caso un=1, si scrive spesso

S(b,c) = D(1,b;c).

Formule semplici[edit]

Nota che D è simmetrico in un e be quindi

e che, per la stranezza di (()),

D(-un,b;c) = –D(un,b;c),
D(un,b;-c) = D(un,b;c).

Dalla periodicità del D nei suoi primi due argomenti, il terzo argomento essendo la durata del periodo per entrambi,

D(un,b;c)=D(un+kc,b+lc;c), per tutti i numeri interi K,l.

Se d è un numero intero positivo, quindi

D(anno Domini,bd;CD) = d.d(un,b;c),
D(anno Domini,bd;c) = D(un,b;c), Se (d,c) = 1,
D(anno Domini,b;CD) = D(un,b;c), Se (d,b) = 1.

C’è una prova per l’ultima uguaglianza che utilizza

Inoltre, az = 1 (mod c) implica D(un,b;c) = D(1,bz;c).

Forme alternative[edit]

Se b e c sono coprimi, potremmo scrivere S(b,c) come

dove la somma si estende per il c-esima radice dell’unità diversa da 1, cioè su tutto




ω


{\ displaystyle \ omega}

tale che





ω

c


=
1


{\ displaystyle \ omega ^ {c} = 1}

e




ω

1


{\ displaystyle \ omega \ non = 1}

.

Se b, c > 0 sono coprimi, quindi

Legge di reciprocità[edit]

Se b e c sono quindi interi coprimi positivi

Riscrivendo questo come

ne consegue che il numero 6c S(b,c) è un numero intero.

Se K = (3, c) poi

e

Una relazione che è prominente nella teoria del Dedekind eta funzione è il seguente. Permettere q = 3, 5, 7 o 13 e lascia n = 24/(q − 1). Quindi dati interi un, b, c, d insieme a anno Dominiavanti Cristo = 1 (quindi appartenente al gruppo modulare), insieme a c scelto così c = kq per qualche numero intero K > 0, definisci

Quindi nδ è un numero intero pari.

La generalizzazione di Rademacher della legge di reciprocità[edit]

Hans Rademacher ha trovato la seguente generalizzazione della legge di reciprocità per le somme Dedekind:[1] Se un,be c sono interi coprimi positivi a coppie, quindi

Riferimenti[edit]

Ulteriori letture[edit]


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