Quasimorfismo

[ad_1]

In matematica , dato un gruppo {\ displaystyle G}, un quasimorfismo (o quasi-morfismo ) è una funzione {\ displaystyle f: G \ a \ mathbb {R}}che è additivo fino all’errore limitato, cioè esiste una costante {\ displaystyle D \ geq 0}tale che{\ displaystyle | f (gh) -f (g) – f (h) | \ leq D}per tutti{\ displaystyle g, h \ in G}. Il valore meno positivo di{\ displaystyle D}per cui questa disuguaglianza è soddisfatta si chiama difetto di{\ displaystyle f}, scritto come{\ displaystyle D (f)}. Per un gruppo{\ displaystyle G}, i quasimorfismi formano un sottospazio dello spazio delle funzioni {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {G}}.

Esempi

  • Omomorfismi di gruppo e funzioni limitate da{\ displaystyle G}a{\ displaystyle \ mathbb {R}}sono quasimorfismi. Anche la somma di un omomorfismo di gruppo e di una funzione limitata è un quasimorfismo e le funzioni di questa forma sono talvolta indicate come quasimorfismi “banali”.
  • Permettere{\displaystyle G=F_{S}}essere un gruppo libero su un set{\ displaystyle S}. Per una parola ridotta{\ displaystyle w}in{\ displaystyle S}, per prima cosa definiamo la funzione di conteggio grande{\displaystyle C_{w}:F_{S}\to \mathbb {Z} _{\geq 0}}, che ritorna per{\ displaystyle g \ in G}il numero di copie di{\ displaystyle w}nel rappresentante ridotto di{\ displaystyle g}. Allo stesso modo, definiamo la piccola funzione di conteggio{\displaystyle c_{w}:F_{S}\to \mathbb {Z} _{\geq 0}}, restituendo il numero massimo di copie non sovrapposte nel rappresentante ridotto di{\ displaystyle g}. Per esempio,{\displaystyle C_{aa}(aaaa)=3}e{\displaystyle c_{aa}(aaaa)=2}. Quindi, un grande quasimorfismo di conteggio (risp. un piccolo quasimorfismo di conteggio ) è una funzione della forma{\displaystyle H_{w}(g)=C_{w}(g)-C_{w^{-1}}(g)}(risp.{\displaystyle h_{w}(g)=c_{w}(g)-c_{w^{-1}}(g))}.
  • numero di rotazione {\displaystyle {\text{rot}}:{\text{Homeo}}^{+}(S^{1})\to \mathbb {R}}è un quasimorfismo, dove{\displaystyle {\text{Homeo}}^{+}(S^{1})}cerchio degli omeomorfismi

Un quasimorfismo è omogeneo se{\ displaystyle f(g^{n})=nf(g)}per tutti{\ displaystyle g \ in G, n \ in \ mathbb {Z}}. Si scopre che lo studio dei quasimorfismi può essere ridotto allo studio dei quasimorfismi omogenei, come ogni quasimorfismo{\ displaystyle f: G \ a \ mathbb {R}}è una distanza limitata da un unico quasimorfismo omogeneo{\displaystyle {\overline {f}}:G\to\mathbb {R}}, dato da:

{\displaystyle {\overline {f}}(g)=\lim _{n\to \infty }{\frac {f(g^{n})}{n}}}.

Un quasimorfismo omogeneo{\ displaystyle f: G \ a \ mathbb {R}}ha le seguenti proprietà:

  • classi di coniugazione{\displaystyle f(g^{-1}hg)=f(h)}per tutti{\ displaystyle g, h \ in G},
  • Se{\ displaystyle G}abeliano{\ displaystyle f}è un omomorfismo di gruppo. L’osservazione di cui sopra implica che in questo caso tutti i quasimorfismi sono “banali”.

Si possono anche definire i quasimorfismi in modo simile nel caso di una funzione{\ displaystyle f: G \ a \ mathbb {Z}}. In questo caso, la discussione di cui sopra sui quasimorfismi omogenei non vale più, come limite{\ displaystyle \ lim _ {n \ a \ infty } f (g ^ {n}) / n}non esiste in{\ displaystyle \ mathbb {Z}}in generale.

Ad esempio, per{\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {R}}, la mappa{\ displaystyle \ mathbb {Z} \ a \ mathbb {Z}: n \ mapsto \ lfloor \ alpha n \ rfloor}è un quasimorfismo. C’è una costruzione dei numeri reali come quoziente di quasimorfismi{\ displaystyle \ mathbb {Z} \ a \ mathbb {Z}}da un’appropriata relazione di equivalenza, vedi Costruzione dei numeri reali da interi (Eudoxus reals) .

[ad_2] Da Wikipedia, l’enciclopedia libera.
Source link

Rispondi

%d blogger hanno fatto clic su Mi Piace per questo: