Operatori lineari

Operatori lineari: tutto sull’argomento

Trasformazione lineare

In matematica, più precisamente in algebra lineare, una trasformazione lineare, detta anche applicazione lineare o mappa lineare, è una funzione lineare tra due spazi vettoriali sullo stesso campo, cioè una funzione che conserva le operazioni di somma di vettori e di moltiplicazione per uno scalare. In altre parole, una trasformazione lineare preserva le combinazioni lineari. Nel linguaggio dell’algebra astratta, una trasformazione lineare è un omomorfismo di spazi vettoriali, in quanto conserva le operazioni che caratterizzano gli spazi vettoriali.

Classe traccia

In matematica, un operatore di classe traccia o operatore nucleare è un operatore compatto per il quale può essere definita una traccia. I termini “operatore di classe traccia” e “operatore nucleare” sono generalmente equivalenti, nonostante alcuni autori utilizzino il primo termine per identificare gli operatori nucleari definiti su uno spazio di Hilbert, riservando il secondo per gli operatori definiti su un più generale spazio di Banach.

Connessione (matematica)

Una connessione sulla sfera permette di "far scivolare" il piano tangente ad un punto lungo una curva. La curva (qui in viola) corrisponde ad una curva (in rosso) nel piano tangente, tramite la mappa esponenziale.

Una connessione sulla sfera permette di “far scivolare” il piano tangente ad un punto lungo una curva. La curva (qui in viola) corrisponde ad una curva (in rosso) nel piano tangente, tramite la mappa esponenziale.In matematica, una connessione è uno strumento centrale della geometria differenziale. Si tratta di un oggetto matematico che “connette” spazi tangenti in punti diversi di una varietà differenziabile.

Derivata

La retta L tangente in P al grafico della funzione ha pendenza data dalla derivata della funzione in P

La retta L tangente in P al grafico della funzione ha pendenza data dalla derivata della funzione in PIn matematica, la derivata è il tasso di cambiamento di una funzione rispetto a una variabile, vale a dire la misura di quanto la crescita di una funzione cambi al variare del suo argomento.

Derivata covariante

In matematica, la derivata covariante estende il concetto usuale di derivata presente nell’ordinario spazio euclideo a una varietà differenziabile arbitraria. Tramite la derivata covariante è possibile calcolare la derivata di un campo vettoriale o di un più generale campo tensoriale in un punto, lungo una direzione fissata.

Derivata debole

In matematica, la derivata debole è una generalizzazione del concetto di derivata di una funzione a funzioni non necessariamente differenziabili, ma solamente integrabili, ovvero funzioni che appartengono allo spazio L1.

Derivata di Lie

In matematica, la derivata di Lie, così chiamata in onore di Sophus Lie da parte di Władysław Ślebodziński, calcola la variazione di un campo vettoriale, più in generale di un campo tensoriale, lungo il flusso di un altro campo vettoriale.

Derivata esterna

In geometria differenziale, la derivata esterna estende il concetto di differenziale di una funzione a forme differenziali di ordine maggiore. La forma attualmente usata della derivata esterna è dovuta ad Élie Cartan.

Derivata funzionale

In matematica e in fisica, la derivata funzionale è una generalizzazione della derivata direzionale. Mentre la derivata direzionale differenzia nella direzione di un vettore, la derivata funzionale differenzia nella direzione di una funzione. Entrambe possono essere viste come estensioni dell’usuale derivata.

Derivata materiale

La derivata materiale, anche detta derivata sostanzialederivata lagrangiana o derivata convettiva, è un operatore differenziale ottenuto attraverso l’applicazione di un opportuno cambio di coordinate alla derivata totale.

Derivata parziale

La pendenza della retta {\displaystyle t_{1}}t_1 è data dalla derivata parziale di {\displaystyle f}f rispetto alla prima variabile in {\displaystyle (x_{0},y_{0})}(x_0,y_0). La pendenza della retta {\displaystyle t_{2}}t_2 è data dalla derivata di {\displaystyle f}f rispetto alla seconda variabile nello stesso punto

La pendenza della retta {\displaystyle t_{1}}t_1 è data dalla derivata parziale di {\displaystyle f}f rispetto alla prima variabile in {\displaystyle (x_{0},y_{0})}(x_0,y_0). La pendenza della retta {\displaystyle t_{2}}t_2 è data dalla derivata di {\displaystyle f}f rispetto alla seconda variabile nello stesso puntoIn analisi matematica, la derivata parziale è una prima generalizzazione del concetto di derivata di una funzione reale alle funzioni di più variabili. Se per funzioni reali la derivata in un punto rappresenta la pendenza del grafico della funzione, la derivata parziale in un punto rispetto alla prima variabile di una funzione  rappresenta la pendenza della retta tangente alla curva ottenuta intersecando il grafico di  con un piano passante per il punto parallelo al piano .

Derivata totale

Nel calcolo differenziale, la derivata per una funzione di più variabili che tiene conto della dipendenza reciproca delle variabili stesse si dice ordinaria, o talvolta in contesti tecnici totale. In altri termini, la derivata totale di una funzione rispetto ad una delle variabili prende in considerazione la dipendenza delle altre variabili dalla variabile rispetto alla quale si deriva.

Differenza finita

In matematica, una differenza finita è un’espressione nella forma di una differenza tra i valori assunti da una funzione in due specifici punti:

Differenziale (matematica)

In matematica, in particolare nel calcolo infinitesimale, il differenziale di una funzione quantifica la variazione infinitesimale della funzione rispetto ad una variabile indipendente. Per una funzione  di una sola variabile , per esempio, il differenziale  di  è definito dalla 1-forma:

Divergenza

Nel calcolo differenziale vettoriale, la divergenza è un campo scalare che misura la tendenza di un campo vettoriale a divergere o a convergere verso un punto dello spazio.

Funzionale lineare

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, un funzionale lineare o forma lineare è un’applicazione lineare da uno spazio vettoriale nel suo campo di scalari. Può trattarsi di un funzionale inteso come funzione che ha per argomento un’altra funzione, ma non è necessariamente definito sempre così. Il termine “funzionale lineare” è usato specialmente in analisi funzionale, mentre “forma lineare” è più usato in geometria, dove una forma lineare è un particolare esempio di forma multilineare.

Generalizzazioni della derivata

La nozione di derivata viene generalizzata in diversi modi, a seconda del contesto in cui viene adoperata.

Gradiente (funzione)

Nel calcolo differenziale vettoriale, il gradiente di una funzione a valori reali è una funzione vettoriale. Il gradiente di una funzione è spesso definito come il vettore che ha come componenti le derivate parziali della funzione, anche se questo vale solo se si utilizzano coordinate cartesiane ortonormali. In generale, il gradiente di una funzione , denotato con , è definito in ciascun punto dalla seguente relazione: per un qualunque vettore , il prodotto scalare  dà il valore della derivata direzionale di  rispetto a .

Operatore aggiunto

In analisi funzionale l’aggiunto di un operatore, chiamato anche operatore hermitiano aggiunto o dagato, generalizza il trasposto coniugato di una matrice quadrata al caso infinito dimensionale e il concetto di complesso coniugato di un numero complesso. Ogni operatore lineare limitato su uno spazio di Hilbert ha un corrispondente operatore aggiunto.

Operatore autoaggiunto

In matematica, in particolare in algebra lineare, un operatore autoaggiunto è un operatore lineare su uno spazio di Hilbert che è uguale al suo aggiunto. In letteratura si usa talvolta chiamare operatore simmetrico un operatore definito in un sottospazio di uno spazio vettoriale, il cui aggiunto non è in generale simmetrico, e operatore hermitiano un operatore densamente definito in tale spazio. Nel caso di uno spazio finito-dimensionale alcuni autori utilizzano inoltre il termine operatore simmetrico per denotare un operatore autoaggiunto nel caso reale.

Operatore compatto

In analisi funzionale, un operatore compatto è un operatore lineare tra spazi di Banach tale che l’immagine di ogni sottoinsieme limitato del dominio sia un insieme relativamente compatto del codominio, cioè che la sua chiusura sia compatta.

Operatore completamente continuo

In matematica, un operatore completamente continuo è un operatore lineare limitato tra spazi di Banach che trasforma successioni debolmente convergenti in successioni convergenti in norma. In modo equivalente, una funzione  che mappa tutti i sottospazi relativamente debolmente compatti di uno spazio di Banach  in sottospazi relativamente compatti di uno spazio di Banach  è completamente continua.

Operatore di Hilbert-Schmidt

In matematica, un operatore di Hilbert-Schmidt, il cui nome è dovuto a David Hilbert e Erhard Schmidt, è un operatore limitato su uno spazio di Hilbert per il quale una data norma, detta norma di Hilbert–Schmidt, è finita.

Operatore di Laplace

In matematica e fisica, in particolare nel calcolo differenziale vettoriale, l’operatore di Laplace o laplaciano, il cui nome è dovuto a Pierre Simon Laplace, è un operatore differenziale del secondo ordine definito come la divergenza del gradiente di una funzione in uno spazio euclideo.

Operatore di Laplace-Beltrami

In geometria differenziale, l’operatore di Beltrami è un operatore differenziale autoaggiunto che generalizza l’operatore di Laplace a funzioni definite su varietà riemanniane, come le superfici in uno spazio euclideo, e pseudo-riemanniane. Analogamente all’operatore di Laplace, è la divergenza del gradiente. L’operatore di Beltrami può essere esteso a forme differenziali per mezzo della divergenza e della derivata esterna, ed in tal caso è detto operatore di Laplace-de Rham.

Operatore di shift

In matematica, e in particolare in analisi funzionale, gli operatori di shift sono esempi di operatori lineari, importanti per la loro semplicità. Sono usati in diverse aree, come gli spazi di Hardy, la teoria delle varietà abeliane, e la teoria della dinamica simbolica, per la quale la mappa di Baker è una rappresentazione esplicita. C’è un’altra applicazione dell’operatore di shift come operatore di traslazione: vedi ad esempio la successione di Sheffer.

Operatore limitato

In analisi funzionale un operatore limitato è un operatore  tra due spazi topologici  e  tale per cui, comunque si scelga un sottoinsieme limitato , l’insieme  è un sottoinsieme limitato di .

Operatore lineare chiuso

In matematica, e più specificatamente in analisi funzionale, gli operatori lineari chiusi sono un’importante classe di operatore lineari su uno spazio di Banach. Essi sono più generali degli operatori lineari limitati, e quindi non sono necessariamente continui, ma hanno lo stesso proprietà interessanti per definire lo spettro e un calcolo funzionale per tali operatori. Molti operatori lineari importanti che non sono limitati sono chiusi, come l’operatore derivata e la grande classe degli operatori differenziali, per esempio in meccanica quantistica l’operatore momento e l’operatore posizione.

Operatore lineare continuo

In analisi funzionale un operatore lineare continuo in uno spazio vettoriale topologico è una trasformazione lineare che è continua rispetto alla topologia presente.

Operatore normale

In matematica, in particolare in analisi funzionale, un operatore normale in uno spazio di Hilbert (complesso), o equivalentemente in una C*-algebra, è un operatore lineare continuo che commuta con il suo aggiunto. Questi operatori sono importanti per il fatto che ad essi si applica il teorema spettrale.

Operatore unitario

In geometria, un operatore unitario, detto anche trasformazione unitaria, è un isomorfismo tra due spazi di Hilbert che conserva il prodotto scalare, e si tratta pertanto della generalizzazione del concetto di isometria al campo complesso.

Proiezione (geometria)

La proiezione ortogonale di un cubo su un piano verticale.

La proiezione ortogonale di un cubo su un piano verticale.In algebra lineare e analisi funzionale, una proiezione è una trasformazione lineare  definita da uno spazio vettoriale in sé stesso (endomorfismo) che è idempotente, cioè tale per cui : applicare due volte la trasformazione fornisce lo stesso risultato che applicandola una volta sola.

Riflessione (geometria)

Riflessione nel piano lungo una retta verticale.

Riflessione nel piano lungo una retta verticale.In matematica, e più precisamente in geometria, una riflessione è una trasformazione della retta, del piano o dello spazio che “specchia” tutti i punti rispetto a (rispettivamente) un punto, una retta, o un piano.

Rotazione (matematica)

In matematica, e in particolare in geometria, una rotazione è una trasformazione del piano o dello spazio euclideo che sposta gli oggetti in modo rigido e che lascia fisso almeno un punto, nel caso del piano, o una retta, nel caso dello spazio. I punti che restano fissi nella trasformazione formano più in generale un sottospazio: quando questo insieme è un punto o una retta, si chiama rispettivamente il centro e l’asse della rotazione.

Rotore (matematica)

Nel calcolo differenziale vettoriale, il rotore di un campo vettoriale tridimensionale è un operatore differenziale che ad un campo vettoriale tridimensionale  fa corrispondere un altro campo vettoriale solitamente denotato da . In termini intuitivi, esso esprime una rotazione infinitesima del vettore dato, associando a ogni punto dello spazio un vettore.

Simmetria centrale

In matematica, e più precisamente in geometria, una simmetria centrale è una trasformazione che scambia tra di loro gli estremi di ogni segmento il quale abbia, come punto medio, un punto fissato, detto centro di simmetria. La simmetria centrale coincide con la rotazione di 180° rispetto al centro di simmetria.

Subdifferenziale

Una funzione convessa (in blu) e due rette di supporto (in rosso)

Una funzione convessa (in blu) e due rette di supporto (in rosso)Il subdifferenziale è un concetto matematico utilizzato nello studio delle funzioni convesse.

Teorema di Hellinger-Toeplitz

In matematica, in particolare in analisi funzionale, il teorema di Hellinger-Toeplitz, il cui nome si deve a Ernst Hellinger e Otto Toeplitz, stabilisce che un operatore simmetrico definito ovunque in uno spazio di Hilbert è un operatore limitato. Detto  il prodotto interno dello spazio di Hilbert, per definizione un operatore  è simmetrico se:

Teoria degli operatori

In matematica, la teoria degli operatori è un settore dell’analisi funzionale che si occupa degli operatori che sono lineari e sono definiti tra spazi di funzioni, come ad esempio gli operatori differenziali e integrali.


Tratto da Wikipedia:

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