Operatore energetico: cos’è, traslazione temporale

Nella meccanica quantistica, l’energia è definita in termini di operatore energetico, che agisce sulla funzione d’onda del sistema come conseguenza della simmetria di traslazione temporale.

Definizione

È dato da:

 

Agisce sulla funzione d’onda (l’ ampiezza di probabilità per diverse differenze del sistema)

 

Applicazione

L’operatore energetico corrisponde all’energia totale di un sistema. L’equazione di Schrödinger descrive la dipendenza dallo spazio e dal tempo della funzione d’onda a cambiamento lento (non relativistica ) di un sistema quantistico. La soluzione di questa equazione per un sistema vincolato è discreta (un insieme di stati consentiti, ciascuno caratterizzato da un livello di energia ) che risulta nel concetto di quanti .

Equazione di Schrödinger

Utilizzando l’operatore di energia per l’equazione di Schrödinger :

può essere ottenuto:

 

dove i è l’ unità immaginaria è la costante di Planck ridotta e  è l’ operatore hamiltoniano .

Energia costante

Partendo dalla definizione, si può costruire una soluzione parziale per una funzione d’onda di una particella con energia costante. Se si presume che la funzione d’onda sia separabile, allora la dipendenza dal tempo può essere espressa come , dove E è l’energia costante. Per intero,

  e ^  

colomba è la soluzione parziale della funzione d’onda dipendente dalla posizione. Applicando l’operatore energia, abbiamo

Questo è anche noto come stato stazionario e può essere utilizzato per analizzare l’equazione di Schrödinger indipendente dal tempo:

dove E è un autovalore dell’energia.

 

Equazione di Klein-Gordon

La relazione relativistica massa-energia :

dove ancora E = energia totale, p = 3 – momento totale della particella, m = massa invariante c = velocità della luce , può analogamente produrre l’ equazione di Klein-Gordon :

colomba è l’ operatore di quantità di moto . Questo è:

 

Derivazione

L’operatore energetico è facilmente derivato dall’utilizzo della funzione d’onda delle particelle libere (soluzione di onde piane all’equazione di Schrödinger). A partire da una dimensione la funzione d’onda è

 

La derivata temporale di Ψ è

 

Dalla relazione di De Broglie :

noi abbiamo

 

Riorganizzare l’equazione porta a

dove il fattore di energia E è un valore scalare , l’energia che possiede la particella e il valore che viene misurato. La derivata parziale è un operatore lineare quindi questa espressione è l’operatore per l’energia:

 

Si può concludere che lo scalare E è l’ autovalore dell’operatore, mentre{\displaystyle {\cappello {E}}}è l’operatore. Riassumendo questi risultati:

 

Per un’onda piana 3-d

la derivazione è esattamente identica, in quanto non viene apportata alcuna modifica al termine comprensivo di tempo e quindi alla derivata temporale. Poiché l’operatore è lineare , sono validi per qualsiasi combinazione lineare di onde piane e quindi possono agire su qualsiasi funzione d’onda senza influire sulle proprietà della funzione d’onda o degli operatori. Quindi questo deve essere vero per qualsiasi funzione d’onda. Si scopre che funziona anche nella meccanica quantistica relativistica , come l’ equazione di Klein-Gordon sopra.


https://en.wikipedia.org/wiki/Energy_operator

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