Modus tollen: cos’è, regola di inferenza

Nella logica proposizionalemodus tollens ( ) ( MT ), noto anche come modus tollendo tollens (latino per “metodo di rimozione togliendo”) negazione il conseguente , è una forma di argomento deduttivo e una regola di inferenza. Modus tollenassume la forma di “Se P, allora Q. Non Q. Pertanto, non P.” È un’applicazione della verità generale che se un’affermazione è vera, allora lo è anche la sua contropositiva. La forma mostra che l’inferenza da P implica Q alla negazione di Q implica che la negazione di P è un argomento valido.

La storia della regola di inferenza modus tollens risale all’antichitàIl primo a descrivere descrive la forma argomentativa modus tollens fu Teofrasto.

Il modus tollens è strettamente correlato al modus ponens. Esistono due forme di argomentazione simili, ma non valide: affermare il conseguente e negare l’antecedente. Vedi anche contrapposizione e dimostrazione per contrapposizione.

Spiegazione

La forma di un argomento modus tollens assomiglia a un sillogismo , con due premesse e una conclusione:

Se P , allora Q .
Non D. _
Pertanto, non P.

La prima premessa è un’affermazione condizionale (“if-then”), come P implica Q . La seconda premessa è un’asserzione che Q , il conseguente dell’affermazione condizionale, non è il caso. Da queste due premesse si può logicamente concludere che anche P , l’ antecedente dell’affermazione condizionale, non è il caso.

Per esempio:

Se il cane rileva un intruso, il cane abbaia.
Il cane non ha abbaiato.
Pertanto, nessun intruso è stato rilevato dal cane.

Supponendo che le premesse siano entrambe vere (il cane abbaia se rileva un intruso, e in effetti non abbaia), ne consegue che non è stato rilevato alcun intruso. Questo è un argomento valido poiché non è possibile che la conclusione sia falsa se le premesse sono vere. (È possibile che ci sia stato un intruso che il cane non ha rilevato, ma ciò non invalida l’argomentazione; la prima premessa è “se il cane rileva un intruso”. La cosa importante è che il cane rilevi o non rilevare un intruso, non se ce n’è uno.)

Un altro esempio:

Se sono l’assassino con l’ascia, allora posso usare un’ascia.
Non posso usare un’ascia.
Pertanto, non sono io l’assassino con l’ascia.

Un altro esempio:

Se Rex è un pollo, allora è un uccello.
Rex non è un uccello.
Pertanto, Rex non è un pollo.

Relazione con il modus ponens

Ogni uso di modus tollens può essere convertito in un uso di modus ponens e un uso di trasposizione nella premessa che è un’implicazione materiale. Per esempio:

Se P , allora Q . (premessa – implicazione materiale)
Se non Q , allora non P . (derivato dalla trasposizione)
Non Q. _ (premessa)
Pertanto, non P. (derivato da modus ponens )

Allo stesso modo, ogni uso del modus ponens può essere convertito in un uso del modus tollens e della trasposizione.

Notazione formale

La regola del modus tollens può essere enunciata formalmente come:

dove sta per l’affermazione “P implica Q”. sta per “non è che Q” (o in breve “non Q”). Poi, ogni volta che “” e ““ciascuno appare da solo come una riga di una prova , poi”” può essere validamente inserito in una riga successiva.

La regola del modus tollens può essere scritta in notazione seguente :

dove è un simbolo metalogico che significa questo è una conseguenza sintattica di e in qualche sistema logico ;

o come enunciato di una tautologia funzionale o teorema della logica proposizionale:

dove e sono proposizioni espresse in qualche sistema formale;

o includendo ipotesi:

tuttavia, poiché la regola non modifica l’insieme delle ipotesi, ciò non è strettamente necessario.

Si vedono spesso riscritture più complesse che coinvolgono il modus tollens , ad esempio nella teoria degli insiemi:

(“P è un sottoinsieme di Q. x non è in Q. Pertanto, x non è in P.”)

Anche nella logica dei predicati del primo ordine :

(“Per ogni x se x è P allora x è Q. y non è Q. Pertanto, y non è P.”)

A rigor di termini questi non sono esempi di modus tollens, ma possono essere derivati ​​da modus tollens utilizzando alcuni passaggi aggiuntivi.

Giustificazione tramite tavola di verità

La validità del modus tollens può essere chiaramente dimostrata attraverso una tavola di verità .

p q p → q
T T T
T F F
F T T
F F T

In casi di modus tollens assumiamo come premesse che p → q sia vero e q sia falso. C’è solo una riga della tavola della verità, la quarta riga, che soddisfa queste due condizioni. In questa riga, p è falsa. Pertanto, in ogni caso in cui p → q è vero e q è falso, anche p deve essere falso.

Prova formale

Attraverso il sillogismo disgiuntivo

Fare un passo Proposizione Derivazione
1 Dato
2 Dato
3 Implicazione materiale (1)
4 Sillogismo disgiuntivo (3,2)

Via reductio ad assurdo

Fare un passo Proposizione Derivazione
1 Dato
2 Dato
3 Assunzione
4 Modus ponens (1,3)
5 Introduzione della congiunzione (2,4)
6 Reductio ad assurdo (3,5)
7 Introduzione condizionale (2,6)

Per contrapposizione

Fare un passo Proposizione Derivazione
1 Dato
2 Dato
3 Contrapposizione (1)
4 Modus ponens (2,3)

Corrispondenza con altri quadri matematici

Calcolo delle probabilità

Modus tollens rappresenta un’istanza della legge della probabilità totale combinata con il teorema di Bayes espresso come:

,

dove i condizionali si ottengono con (la forma estesa del) teorema di Bayes espresso come:

 

.

Nelle equazioni sopra denota la probabilità di , e denota il tasso di base (ovvero la probabilità a priori) di . La probabilità condizionata   generalizza l’affermazione logica , cioè oltre ad assegnare VERO o FALSO possiamo anche assegnare qualsiasi probabilità all’affermazione. Supponiamo che  è equivalente a essere VERO, e quello è equivalente a essendo FALSO. È quindi facile vederlo  quando e . Questo è perché affinché nell’ultima equazione. Pertanto, i termini del prodotto nella prima equazione hanno sempre un fattore zero in modo che  che è equivalente a essendo FALSO. Quindi, la legge della probabilità totale combinata con il teorema di Bayes rappresenta una generalizzazione del modus tollens .

Logica soggettiva

Il modus tollens rappresenta un’istanza dell’operatore di abduzione in logica soggettiva espressa come:

 ,

dove denota l’opinione soggettiva su , e denota una coppia di opinioni condizionali binomiali, come espresse dalla fonte . Il parametro  denota il tasso di base (ovvero la probabilità a priori ) di . L’opinione marginale rapita su  è denotato . L’opinione condizionale  generalizza l’affermazione logica , cioè in aggiunta all’assegnazione TRUE o FALSE della fonte può assegnare qualsiasi opinione soggettiva alla dichiarazione. Il caso in cui  è un’opinione assolutamente VERA è equivalente alla fonte dicendo che è VERO, e il caso in cui è un’opinione FALSA assoluta è equivalente alla fonte dicendo che è falso. L’operatore del rapimento  della logica soggettiva produce un’opinione rapita assolutamente FALSA  quando il giudizio condizionale è assolutamente VERO e il conseguente giudizio è assolutamente FALSO. Quindi, l’abduzione logica soggettiva rappresenta una generalizzazione sia del modus tollens sia della legge della probabilità totale combinata con il teorema di Bayes .


https://en.wikipedia.org/wiki/Modus_tollens

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