Modus ponens: cos’è, argomento deduttivo

Nella logica proposizionalemodus ponens ( MP ), noto anche come modus ponendo ponens (latino per “metodo di mettere ponendo”) eliminazione di implicazione o affermare l’antecedenteè una forma di argomento deduttivo e una regola di inferenza. Si può riassumere come ” Pimplica QP è vero. Quindi anche Q deve essere vero.”

Il modus ponens è strettamente correlato a un’altra valida forma di argomentazione, il modus tollens. Entrambi hanno forme apparentemente simili ma non valide come l’affermazione del conseguentela negazione dell’antecedente e l’evidenza dell’assenzaIl dilemma costruttivo è la versione disgiuntiva delmodus ponensIl sillogismo ipotetico è strettamente correlato al modus ponens e talvolta è pensato come “doppio modus ponens “.

La storia del modus ponens risale all’antichitàIl primo a descrivere descrive la forma argomentativa modus ponens fu TeofrastoInsieme al modus tollens, è uno dei modelli standard di inferenza che possono essere applicati per derivare catene di conclusioni che conducono all’obiettivo desiderato.

Spiegazione

La forma di un argomento modus ponens assomiglia a un sillogismo , con due premesse e una conclusione:

  1. Se P , allora Q .
  2. P. _
  3. Pertanto , Q.

La prima premessa è un’affermazione condizionale (“se-allora”), vale a dire che P implica Q . La seconda premessa è un’asserzione che P , l’ antecedente dell’affermazione condizionale, è il caso. Da queste due premesse si può concludere logicamente che deve valere anche Q , il conseguente dell’affermazione condizionale.

Un esempio di un argomento che si adatta alla forma modus ponens :

  1. Se oggi è martedì, John andrà a lavorare.
  2. Oggi è martedì.
  3. Pertanto, John andrà a lavorare.

Questa argomentazione è valida , ma non ha alcuna relazione con il fatto che qualcuna delle affermazioni nell’argomentazione sia effettivamente vera ; affinché il modus ponens sia un argomento valido , le premesse devono essere vere per ogni caso vero della conclusione. Un argomento può essere valido ma non fondato se una o più premesse sono false; se un argomento è valido e tutte le premesse sono vere, allora l’argomento è corretto. Ad esempio, John potrebbe andare a lavorare mercoledì. In questo caso, il ragionamento per cui John andrà a lavorare (perché è mercoledì) non è fondato. L’argomento è valido solo il martedì (quando John va a lavorare), ma valido per tutti i giorni della settimana. Un propositivosi dice che l’ argomentazione che usa il modus ponens sia deduttiva .

Nei calcoli sequenziali a conclusione singola , il modus ponens è la regola del taglio. Il teorema di eliminazione del taglio per un calcolo dice che ogni dimostrazione che coinvolge Taglio può essere trasformata (generalmente, con un metodo costruttivo) in una dimostrazione senza Taglio, e quindi che Taglio è ammissibile .

La corrispondenza di Curry–Howard tra dimostrazioni e programmi mette in relazione il modus ponens con l’applicazione della funzione : se f è una funzione di tipo P → Q e x è di tipo P , allora fx è di tipo Q .

Nell’intelligenza artificiale , il modus ponens è spesso chiamato concatenamento in avanti .

Notazione formale

La regola del modus ponens può essere scritta in notazione successiva come

{\displaystyle P\to Q,\;P\;\;\vdash \;\;Q}

dove P , Q e P → Q sono affermazioni (o proposizioni) in un linguaggio formale e  è un simbolo metalogico che significa che Q è una conseguenza sintattica di P e P → Q in qualche sistema logico .

Giustificazione tramite tavola di verità

La validità del modus ponens nella classica logica a due valori può essere chiaramente dimostrata mediante l’uso di una tavola di verità .

p q p → q
T T T
T F F
F T T
F F T

In casi di modus ponens assumiamo come premesse che p → q sia vero e p sia vero. Solo una riga della tavola di verità, la prima, soddisfa queste due condizioni ( p e p → q ). Su questa linea, anche q è vera. Pertanto, ogni volta che p → q è vero e p è vero, anche q deve essere vero.

Stato

Sebbene il modus ponens sia una delle forme argomentative più comunemente usate in logica, non deve essere confuso con una legge logica; piuttosto, è uno dei meccanismi accettati per la costruzione di dimostrazioni deduttive che include la “regola di definizione” e la “regola di sostituzione”. Il modus ponens consente di eliminare un’affermazione condizionale da una prova o argomento logico (gli antecedenti) e quindi di non portare avanti questi antecedenti in una stringa di simboli sempre più lunga; per questo il modus ponens è talvolta chiamato regola del distacco o legge del distacco. Enderton, ad esempio, osserva che “il modus ponens può produrre formule più brevi da formule più lunghe”, e Russell osserva che “il processo dell’inferenza non può essere ridotto a simboli. Il suo unico record è l’occorrenza di ⊦q [il conseguente] .. . un’inferenza è l’abbandono di una premessa vera; è la dissoluzione di un’implicazione”.

Una giustificazione per la “fiducia nell’inferenza è la convinzione che se le due asserzioni precedenti [gli antecedenti] non sono in errore, l’asserzione finale [il conseguente] non è in errore”. In altre parole: se un’affermazione o proposizione ne implica una seconda, e la prima affermazione o proposizione è vera, allora anche la seconda è vera. Se P implica Q e P è vero, allora Q è vero.

Corrispondenza con altri quadri matematici

Semantica algebrica

Nella logica matematica, la semantica algebrica tratta ogni frase come un nome per un elemento in un insieme ordinato. Tipicamente, l’insieme può essere visualizzato come una struttura reticolare con un singolo elemento (il “sempre vero”) in alto e un altro singolo elemento (il “sempre falso”) in basso. L’equivalenza logica diventa identità, così che quando{\ Displaystyle \ neg {(P \ cuneo Q)}}e{\displaystyle \neg {P}\vee \neg {Q}}, ad esempio, sono equivalenti (come è standard), quindi{\ displaystyle \ neg {(P \ cuneo Q)} = \ neg {P} \ vee \ neg {Q}}. L’implicazione logica diventa una questione di posizione relativa:{\displaystyle P}implica logicamente{\displaystyle D}nel caso in cui{\displaystyle P\leq Q}, cioè quando entrambi{\displaystyle P=D}o altro{\displaystyle P}giace sotto{\displaystyle D}ed è collegato ad esso da un percorso ascendente.

In questo contesto, per dirlo{\textstyle P}e{\displaystyle P\rightarrow Q}insieme implicano{\displaystyle D}– cioè, affermare il modus ponens come valido – è dire questo{\displaystyle P\cuneo (P\rightarrow Q)\leq Q}. Nella semantica per la logica proposizionale di base, l’algebra è Boolean , with{\displaystyle \rightarrow}interpretato come il condizionale materiale :{\displaystyle P\rightarrow Q=\neg {P}\vee Q}. A conferma di ciò{\displaystyle P\cuneo (P\rightarrow Q)\leq Q}è quindi semplice, perché{\displaystyle P\cuneo (P\rightarrow Q)=P\cuneo Q}. Con altri trattamenti di{\displaystyle \rightarrow}, la semantica diventa più complessa, l’algebra può essere non booleana e la validità del modus ponens non può essere data per scontata.

Calcolo delle probabilità

Il modus ponens rappresenta un’istanza della Legge della probabilità totale che per una variabile binaria si esprime come:

{\displaystyle \Pr(Q)=\Pr(Q\mid P)\Pr(P)+\Pr(Q\mid \lnot P)\Pr(\lnot P)\,},

dove ad es{\displaystyle \Pr(Q)}denota la probabilità di{\displaystyle D}e la probabilità condizionata {\displaystyle \Pr(Q\mid P)}generalizza l’implicazione logica{\displaystyle P\to Q}. Supponiamo che{\displaystyle \Pr(Q)=1}è equivalente a{\displaystyle D}essere VERO, e quello{\displaystyle \Pr(Q)=0}è equivalente a{\displaystyle D}essendo FALSO. È quindi facile vederlo{\displaystyle \Pr(Q)=1}quando{\displaystyle \Pr(Q\mid P)=1}e{\displaystyle \Pr(P)=1}. Quindi, la legge della probabilità totale rappresenta una generalizzazione del modus ponens .

Logica soggettiva

Il modus ponens rappresenta un’istanza dell’operatore di deduzione binomiale in logica soggettiva espresso come:

{\displaystyle \omega _{Q\|P}^{A}=(\omega _{Q|P}^{A},\omega _{Q|\lnot P}^{A})\circledcirc \omega _{P}^{A}\,},

dove{\displaystyle \omega _{P}^{A}}denota l’opinione soggettiva su{\displaystyle P}come espresso dalla fonte{\displaystyle A}, e l’opinione condizionale{\displaystyle \omega _{Q|P}^{A}}generalizza l’implicazione logica{\displaystyle P\to Q}. L’opinione marginale dedotta su{\displaystyle D}è denotato da{\displaystyle \omega _{Q\|P}^{A}}. Il caso in cui{\displaystyle \omega _{P}^{A}}è un’opinione assolutamente VERA in merito{\displaystyle P}è equivalente a fonte{\displaystyle A}dicendo che{\displaystyle P}è VERO, e il caso in cui{\displaystyle \omega _{P}^{A}}è un’opinione assolutamente FALSA in merito{\displaystyle P}è equivalente a fonte{\displaystyle A}dicendo che{\displaystyle P}è falso. L’operatore di deduzione{\displaystyle \cerchiato}della logica soggettiva produce un’opinione dedotta assolutamente VERA{\displaystyle \omega _{Q\|P}^{A}}quando il giudizio condizionale{\displaystyle \omega _{Q|P}^{A}}è assolutamente VERO e l’opinione antecedente{\displaystyle \omega _{P}^{A}}è assolutamente VERO. Quindi, la deduzione logica soggettiva rappresenta una generalizzazione sia del modus ponens che della legge della probabilità totale .

Presunti casi di fallimento

Filosofi e linguisti hanno identificato una varietà di casi in cui il modus ponens sembra fallire. Vann McGee , ad esempio, ha sostenuto che il modus ponens può fallire per condizionali i cui conseguenti sono essi stessi condizionali. Quanto segue è un esempio:

  1. Shakespeare o Hobbes hanno scritto Amleto .
  2. Se Shakespeare o Hobbes hanno scritto l’ Amleto , allora se non l’ha fatto Shakespeare, l’ha fatto Hobbes.
  3. Pertanto, se Shakespeare non ha scritto Amleto , lo ha fatto Hobbes.

Poiché Shakespeare ha scritto Amleto , la prima premessa è vera. Anche la seconda premessa è vera, poiché partendo da un insieme di possibili autori limitato ai soli Shakespeare e Hobbes ed eliminando uno di essi rimane solo l’altro. Tuttavia, la conclusione può sembrare falsa, poiché escludere Shakespeare come autore di Amleto lascerebbe numerosi possibili candidati, molti dei quali alternative più plausibili di Hobbes.

La forma generale dei controesempi di tipo McGee al modus ponens è semplicemente{\displaystyle P,P\rightarrow (Q\rightarrow R)}, dunque{\displaystyle Q\rightarrow R}; non è essenziale quello{\displaystyle P}essere una disgiunzione, come nell’esempio dato. Che questi tipi di casi costituiscano fallimenti del modus ponens rimane un punto di vista controverso tra i logici, ma le opinioni variano su come i casi dovrebbero essere risolti.

Nella logica deontica , alcuni esempi di obbligo condizionale sollevano anche la possibilità di fallimento del modus ponens . Questi sono casi in cui la premessa condizionale descrive un obbligo basato su un’azione immorale o imprudente, ad esempio, “Se Doe uccide sua madre, dovrebbe farlo con delicatezza”, per cui la dubbia conclusione incondizionata sarebbe “Doe doe deve uccidere delicatamente sua madre madre.” Sembrerebbe che se Doe sta effettivamente uccidendo gentilmente sua madre, allora per modus ponens sta facendo esattamente quello che dovrebbe, incondizionatamente, fare. Anche in questo caso, il fallimento del modus ponens non è una diagnosi popolare, ma a volte viene discussa.

Possibili errori

L’errore di affermare il conseguente è un comune fraintendimento del modus ponens .


https://en.wikipedia.org/wiki/Modus_ponens

Lascia un commento

Il tuo indirizzo email non sarà pubblicato. I campi obbligatori sono contrassegnati *