Matrice GCD

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In matematica , una matrice del massimo comun divisore (a volte abbreviata come matrice GCD ) è una matrice /

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Esempio di matrice GCD

Permettere{\displaystyle S={x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}}essere un insieme di numeri interi positivi. Poi il{\ displaystyle n \ volte n}matrice{\ displaystyle (S)}avente il massimo comun divisore{\displaystyle \gcd(x_{i},x_{j})}come suo{\ displaystyle ij}la voce viene indicata come matrice GCD attiva{\ displaystyle S}. La matrice LCM{\ displaystyle [S]}è definito in modo analogo.

Lo studio delle matrici di tipo GCD ha origine da HJS Smith (1875) che ha valutato il determinante di alcune matrici GCD e LCM. Smith ha mostrato tra gli altri che il determinante del{\ displaystyle n \ volte n}matrice{\ displaystyle (\ gcd (i, j))}è{\ displaystyle \ phi (1) \ phi (2) \ cdots \ phi (n)}, dove{\ displaystyle \ phi}è la funzione totalizzante di Eulero.

Congetture

Congettura di Bourque-Ligh: Bourque e Ligh (1992) hanno ipotizzato che la matrice LCM su un insieme S chiuso da GCD non sia singolare. Questa congettura è stata dimostrata falsa da Haukkanen, Wang e Sillanpää (1997) e successivamente da Hong (1999). Un approccio di teoria del reticolo è fornito da Korkee, Mattila e Haukkanen (2019).

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Da Wikipedia, l’enciclopedia libera.

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