La teoria di Galois di Grothendieck – Wikipedia

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In matematica, La teoria di Galois di Grothendieck è un approccio astratto al Teoria di Galois di campi, sviluppato intorno al 1960 per fornire un modo per studiare il gruppo fondamentale di topologia algebrica nell’ambientazione di geometria algebrica. Fornisce, nell’impostazione classica di teoria dei campiuna prospettiva alternativa a quella di Emil Artin basato su algebra lineareche divenne standard a partire dagli anni ’30 circa.

L’approccio di Alexander Grothendieck si occupa del categoria-teorico proprietà che caratterizzano le categorie del finito G-imposta per un fisso gruppo profinito G. Per esempio, G potrebbe essere il gruppo indicato








Z

^





{\displaystyle {\hat {\mathbb {Z}}}}

qual è limite inverso dei gruppi additivi ciclici Z/nZ — o equivalentemente il completamento del gruppo ciclico infinito Z per la topologia di sottogruppi di finito indice. Un finito G-set è quindi un insieme finito X in cui G agisce attraverso un gruppo ciclico finito quoziente, in modo che sia specificato dando qualche permutazione di X.

Nell’esempio sopra, una connessione con il classico Teoria di Galois può essere visto per quanto riguarda








Z

^





{\displaystyle {\hat {\mathbb {Z}}}}

come il profinito gruppo di Galois Gal(F/F) del chiusura algebrica F di qualsiasi campo finito Fterminato F. Cioè, gli automorfismi di F fissaggio F sono descritti dal limite inverso, poiché prendiamo finito sempre più grande dividere i campi terminato F. La connessione con la geometria può essere vista quando osserviamo spazi di copertura del disco dell’unità nel piano complesso con l’origine rimossa: il rivestimento finito realizzato dal zn mappa del disco, pensata per mezzo di una variabile numerica complessa zcorrisponde al sottogruppo n.Z del gruppo fondamentale del disco forato.

La teoria di Grothendieck, pubblicata in SGA1mostra come ricostruire la categoria di G-set da a funtore di fibra Φ, che nell’impostazione geometrica porta la fibra di un rivestimento al di sopra di un punto base fisso (come un insieme). Infatti esiste un isomorfismo dimostrato del tipo

G ≅ Aut(Φ),

quest’ultimo essendo il gruppo degli automorfismi (auto-equivalenze naturali) di Φ. Viene fornita una classificazione astratta delle categorie con un funtore alla categoria degli insiemi, per mezzo della quale si possono riconoscere categorie di G-imposta per G profinito.

Per vedere come questo si applica al caso dei campi, si deve studiare il prodotto tensoriale dei campi. In topos teoria questa è una parte dello studio di topologie atomiche.

Guarda anche[edit]

Riferimenti[edit]

  • Grothendieck, A.; et al. (1971). SGA1 Revêtements étales et groupe fondamental, 1960–1961′. Appunti delle lezioni in matematica. vol. 224. SpringerSphiwe Verlag. arXiv:matematica/0206203. ISBN 978-3-540-36910-3.
  • Joyal, André; Tierney, Myles (1984). Un’estensione della teoria di Galois di Grothendieck. Memorie dell’American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2312-4.


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