Il problema di Wahba – Wikipedia

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In matematica applicata, Il problema di Wahbaprima posato da Grazia Wahba nel 1965, cerca di trovare a matrice di rotazione (matrice ortogonale speciale) tra due sistemi di coordinate da un insieme di osservazioni vettoriali (pesate). Spesso vengono utilizzate soluzioni al problema di Wahba satellitare determinazione dell’atteggiamento utilizzando sensori come magnetometri e multiantenna Ricevitori GPS. La funzione di costo che il problema di Wahba cerca di minimizzare è la seguente:

dove






w


K




{\ displaystyle \ mathbf {w} _ {k}}

è il K-esima misura a 3 vettori nel sistema di riferimento,






v


K




{\ displaystyle \ mathbf {v} _ {k}}

è il corrispondente K-esima misurazione a 3 vettori nel telaio del corpo e





R



{\ displaystyle \ mathbf {R}}

è una matrice di rotazione 3 per 3 tra i frame delle coordinate.[1]





un

K




{\displaystyle a_{k}}

è un insieme opzionale di pesi per ciascuna osservazione.

In letteratura sono apparse numerose soluzioni al problema, in particolare il metodo q di Davenport,[2] RICERCA e metodi basati su Scomposizione di un valore singolo (SVD). Diversi metodi per risolvere il problema di Wahba sono discussi da Markley e Mortari.

Questa è una formulazione alternativa del Problema di Procuste ortogonale (considera tutti i vettori moltiplicati per le radici quadrate dei pesi corrispondenti come colonne di due matrici con N colonne per ottenere la formulazione alternativa). Un’elegante derivazione della soluzione su una pagina e mezza si trova in.[3]

Soluzione tramite SVD[edit]

Una soluzione può essere trovata utilizzando una scomposizione del valore singolare (SVD).

1. Ottieni una matrice





B



{\ displaystyle \ mathbf {B}}

come segue:

2. Trova il Scomposizione di un valore singolo di





B



{\ displaystyle \ mathbf {B}}

3. La matrice di rotazione è semplicemente:

dove





M

=
diag

(


[



1


1


det
(

U

)
det
(

V

)



]


)


{\displaystyle \mathbf {M} =\nomeoperatore {diag} ({\begin{bmatrix}1&1&\det(\mathbf {U})\det(\mathbf {V})\end{bmatrix}})}

Riferimenti[edit]

Guarda anche[edit]


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