Geometria riemanniana, cosa è: branca della…

La Geometria riemanniana


Geometria riemanniana

La geometria riemanniana è una branca della geometria differenziale che studia le varietà riemanniane.

Campo vettoriale di Killing

In matematica, un campo vettoriale di Killing è un campo vettoriale su una varietà riemanniana che preserva la metrica. I campi di Killing sono i generatori infinitesimali delle isometrie.

Connessione di Levi Civita

In geometria differenziale, la connessione di Levi Civita è, su una varietà riemanniana, l’unica connessione senza torsione che preserva la metrica. Il suo nome è dovuto a Tullio Levi Civita.

Curvatura scalare

In geometria differenziale la curvatura scalare è il più semplice invariante di curvatura di una varietà riemanniana. Ad ogni punto della varietà essa associa un numero reale determinato dalla geometria intrinseca della varietà intorno a quel punto. La curvatura scalare è definita a partire dal tensore di curvatura di Ricci, che è a sua volta definito a partire dal tensore di Riemann.

Curvatura sezionale

In geometria differenziale, la curvatura sezionale misura la curvatura di una varietà riemanniana lungo piani dello spazio tangente in un punto della varietà. La curvatura sezionale contiene la stessa quantità di informazioni del tensore di Riemann.

Elemento di linea

In geometria, l’elemento di linea o elemento di lunghezza può essere pensato come il segmento associato a un vettore spostamento infinitesimo in uno spazio metrico. La lunghezza dell’elemento di linea, che può essere pensata come la lunghezza di un arco differenziale, è una funzione del tensore metrico e si indica con ds.

Geodetica

In matematica, e più precisamente in geometria differenziale, una geodetica è la curva più breve che congiunge due punti di uno spazio. Lo spazio in questione può essere una superficie, una più generale varietà riemanniana, o un ancor più generale spazio metrico. Ad esempio, nel piano le geodetiche sono le linee rette, su una sfera sono gli archi di cerchio massimo. Il concetto di geodetica è intimamente correlato a quello di metrica riemanniana, che è connesso con il concetto di distanza.

Identità di Bianchi

Le identità di Bianchi danno le relazioni tra le derivate covarianti del tensore di curvatura di una varietà riemanniana e sono così denominate in onore del matematico italiano Luigi Bianchi. Trovano svariate applicazioni nei campi della matematica e della fisica.

Identità di Bianchi contratte

In relatività generale e nel calcolo tensoriale, le identità di Bianchi contratte sono definite dalla formula:

Identità di Palatini

In relatività generale e nel calcolo tensoriale, l’identità di Palatini è definita dalla formula:

Mappa esponenziale

In geometria differenziale, la mappa esponenziale è una funzione che mappa lo spazio tangente in un punto di una varietà riemanniana o pseudo-riemanniana sulla varietà stessa. La mappa esponenziale è utile a rappresentare un intorno di un punto tramite coordinate geodetiche.

La mappa esponenziale associa ad ogni vettore {\displaystyle v}v dello spazio tangente l'unica geodetica {\displaystyle \gamma (t)}{\displaystyle \gamma (t)} passante per il punto e tangente a {\displaystyle v}v.
La mappa esponenziale associa ad ogni vettore {\displaystyle v}v dello spazio tangente l’unica geodetica {\displaystyle \gamma (t)}{\displaystyle \gamma (t)} passante per il punto e tangente a {\displaystyle v}v.

Metrica indotta

In matematica e in fisica teorica, la metrica indotta è il tensore metrico definito su di una sottovarietà che è calcolato a partire dal tensore metrico definito su una varietà più ampia in cui la sottovarietà è immersa.

Raggio di iniettività

In matematica, e più precisamente in geometria differenziale, il raggio di iniettività è un numero reale positivo che misura il “grado di collassamento” di una varietà riemanniana in un punto o globalmente.

Rilevamento di Kosmann

In geometria differenziale, il rilevamento di Kosmann di un campo vettoriale , definito su una varietà riemanniana , è la proiezione canonica  sul fibrato dei riferimenti ortonormali del suo rilevamento naturale  definito sul fibrato dei riferimenti lineari. Prende il nome della matematica francese Yvette Kosmann-Schwarzbach.

Simbolo di Christoffel

In geometria differenziale, i simboli di Christoffel sono dei coefficienti che codificano completamente una connessione in una carta particolare. I simboli dipendono fortemente dalla carta scelta: questi non sono infatti dei tensori. Si devono a Elwin Bruno Christoffel.

Superpotenziale di Komar

In relatività generale, si definisce superpotenziale di Komar, relativo alla lagrangiana invariante di Einstein-Hilbert , la densità tensoriale espressa dall’equazione:

Tensore di curvatura di Ricci

In geometria differenziale il tensore di Ricci è un tensore che misura la curvatura di una varietà riemanniana. Si ottiene contraendo due indici del tensore di Riemann. Il tensore di Ricci, che deve il suo nome a Gregorio Ricci Curbastro, è un ingrediente dell’equazione di campo di Einstein ed è quindi importante per la formulazione della relatività generale.

Tensore di Riemann

In geometria differenziale, il tensore di Riemann è un tensore di tipo (1,3) che codifica nel modo più completo la curvatura di una varietà riemanniana. Prende il nome da Bernhard Riemann ed è generalmente indicato tramite il simbolo:

Tensore metrico

In matematica, e più precisamente in geometria differenziale, un tensore metrico è un campo tensoriale che caratterizza la geometria di una varietà. Tramite il tensore metrico è possibile definire le nozioni di distanza, angolo, lunghezza di una curva, di una geodetica o di una curvatura.

Teorema di Cheeger-Gromoll

Il teorema di Cheeger-Gromoll, o Soul Theorem, è un teorema di Geometria riemanniana che in larga misura riconduce lo studio delle varietà geometriche complete di curvatura sezionale non negative al caso delle varietà compatte. Jeff Cheeger e Detlef Gromoll dimostrarono il teorema nel 1972 generalizzando un risultato ottenuto nel 1969 dallo stesso Gromoll e da Wolfgang Meyer. La correlata congettura dell’anima fu formulata da Gromoll e Cheeger nel 1972, e dimostrata da Grigorij Jakovlevič Perel’man nel 1994 in un modo sorprendente e conciso.

Teorema di Hopf-Rinow

In geometria differenziale, il teorema di Hopf-Rinow è un teorema relativo alla completezza di una varietà riemanniana. Il nome si riferisce al matematico Heinz Hopf ed al suo studente Willi Rinow.

Teorema di Vermeil

In relatività generale e nel calcolo tensoriale, il teorema di Vermeil afferma che la curvatura scalare è l’unico invariante assoluto, tra quelli prescritti, adatto alla teoria di Einstein. Il teorema fu dimostrato dal matematico tedesco Hermann Vermeil nel 1917.

Trasformazione di Weyl

In fisica teorica, una trasformazione di Weyl è un riscalamento locale del tensore metrico:

Varietà di Kähler

In geometria differenziale, una varietà di Kähler è una varietà con struttura unitaria dotata di tre proprietà mutualmente compatibili: è una varietà complessa, una varietà riemanniana e una varietà simplettica. Prende il nome del matematico tedesco Erich Kähler.

Varietà ellittica

In geometria differenziale, una varietà ellittica è una varietà riemanniana a curvatura sezionale costantemente pari a 1. Esempi di varietà ellittiche in ogni dimensione sono la sfera  e lo spazio proiettivo reale. In dimensione 3 un altro importante esempio è dato dalla famiglia degli spazi lenticolari. Se la varietà è completa, il suo rivestimento universale è sempre .

Varietà piatta

In matematica, una varietà piatta è una varietà riemanniana a curvatura sezionale costantemente nulla. Gli esempi più importanti di varietà piatte in dimensione  sono lo spazio euclideo  ed il toro

Varietà riemanniana

In matematica, la nozione di varietà riemanniana è centrale in geometria differenziale, ed è utile a modellizzare spazi “curvi” di dimensione arbitraria. Una varietà riemanniana è una varietà differenziabile su cui sono definite le nozioni di distanza, lunghezza, geodetica, area, curvatura. Prende il nome dal matematico tedesco Bernhard Riemann.

Bernhard Riemann introdusse le nozioni di varietà e di curvatura di varietà nel 1854, in "Uber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen", "Sulle ipotesi che stanno alla base della geometria", pubblicata postuma nel 1867.
Bernhard Riemann introdusse le nozioni di varietà e di curvatura di varietà nel 1854, in “Uber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen”, “Sulle ipotesi che stanno alla base della geometria”, pubblicata postuma nel 1867.

Da Wikipedia, l’enciclopedia libera.

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