Geometria metrica, cosa è: la geometria che…

La Geometria metrica


Geometria della distanza

La geometria della distanza è lo studio di insiemi di significato geometrico che si basa esclusivamente su valori assegnati alle distanze tra coppie di punti. La geometria della distanza ha immediata rilevanza nelle applicazioni nelle quali i valori delle distanze sono assegnati o devono essere determinati; questo accade, per esempio, nelle misurazioni che si effettuano in geodesia, in cartografia e in fisica.

Contrazione (matematica)

In matematica, una contrazione o applicazione di contrazione è una funzione da uno spazio metrico in sé stesso tale che la distanza tra l’immagine di due elementi qualsiasi dello spazio sia inferiore alla distanza degli elementi stessi.

Diametro

In geometria il diametro è il segmento che unisce due punti della circonferenza passando per il centro; tali punti sono detti opposti. Misura il doppio del raggio rappresentando la corda massima e la sua relazione con la circonferenza è π.

Le componenti di una circonferenza
Le componenti di una circonferenza

Dimensione di Hausdorff

In matematica, la dimensione di Hausdorff è una dimensione frattale. Fu introdotta nel 1918 dal matematico Felix Hausdorff. Molti degli strumenti tecnici usati per calcolare la dimensione di Hausdorff di insiemi molto irregolari sono stati sviluppati da Abram Samojlovič Bezicovič. Per questa ragione la dimensione di Hausdorff è talvolta menzionata come dimensione di Hausdorff-Besicovitch.

Triangolo di Sierpiński. Uno spazio avente dimensione frattale ln 3 / ln 2, che è approssimativamente 1,58
Triangolo di Sierpiński. Uno spazio avente dimensione frattale ln 3 / ln 2, che è approssimativamente 1,58

Dimensione frattale

In geometria frattale la dimensione frattale, spesso indicata con D è una quantità statistica che dà un’indicazione di quanto completo appare un frattale per riempire lo spazio. La definizione di dimensione frattale non è unica, infatti vi sono diverse specifiche definizioni. Le più importanti sono la dimensione di Hausdorff, la dimensione di Minkowski-Bouligand, la dimensione di Rényi e la dimensione packing. In pratica viene spesso usato il conteggio del numero di box per la sua semplice implementazione.

Distanza (matematica)

L’accezione matematica del termine distanza ha un significato analogo a quello dell’uso comune, cioè quello della misura della “lontananza” tra due punti di un insieme al quale si possa attribuire qualche carattere spaziale. In matematica, però, questa nozione assume caratteri astratti e si basa solo su proprietà formali che ne fanno perdere l’univocità: esistono esempi di insiemi anche comuni come  in cui possono essere date infinite definizioni di distanza, tutte soddisfacenti le proprietà generali. Si può dire che in matematica il termine distanza caratterizza strumenti computazionali con alcune caratteristiche comuni, ma utilizzabili per scopi diversificati.

Distanza di Čebyšëv

In matematica, la distanza di Čebyšëv, conosciuta anche come distanza della scacchiera o distanza di Lagrange, è una distanza su spazi vettoriali tale per cui la distanza tra due vettori è il valore massimo della loro differenza lungo gli assi. Si tratta di una versione finito-dimensionale della metrica uniforme.

Distanza di Čebyšëv
Distanza di Čebyšëv

Distanza di Hausdorff

In geometria, la distanza di Hausdorff è una particolare definizione di distanza introdotta da Felix Hausdorff per misurare la distanza tra due sottoinsiemi di uno spazio metrico.

Distanza di Mahalanobis

In statistica, la distanza di Mahalanobis è una misura di distanza introdotta da P. C. Mahalanobis nel 1936. Essa è basata sulle correlazioni tra variabili attraverso le quali differenti pattern possono essere identificati ed analizzati. Si tratta di un’utile maniera per determinare la similarità di uno spazio campionario incognito rispetto ad uno noto. Differisce dalla distanza euclidea in quanto tiene conto delle correlazioni all’interno dell’insieme dei dati.

Distanza di Minkowski

In matematica, la distanza di Minkowski è una distanza in uno spazio euclideo che può essere considerata una generalizzazione sia della distanza euclidea sia della distanza di Manhattan.

Distanza euclidea

In matematica, la distanza euclidea è la distanza tra due punti, ossia la misura del segmento avente per estremi i due punti.

Disuguaglianza triangolare

In matematica, la disuguaglianza triangolare afferma che, in un triangolo, la somma delle lunghezze di due lati è maggiore della lunghezza del terzo. Una sua conseguenza, la disuguaglianza triangolare inversa, afferma invece che la differenza tra le lunghezze dei due lati è minore della lunghezza del rimanente.

Rappresentazione grafica della disuguaglianza triangolare: la somma dei lati x e y è sempre maggiore del lato z. Nel caso in cui il triangolo sia quasi degenere, questa somma si avvicina alla lunghezza di z
Rappresentazione grafica della disuguaglianza triangolare: la somma dei lati x e y è sempre maggiore del lato z. Nel caso in cui il triangolo sia quasi degenere, questa somma si avvicina alla lunghezza di z

Funzione contrattiva

In matematica, una funzione contrattiva è una funzione tra spazi metrici che accorcia le distanze tra punti, ma in maniera più debole rispetto ad una contrazione.

Funzione non espansiva

In matematica, una funzione non espansiva è una funzione continua tra spazi metrici che, come dice il termine, non allontana i punti.

Geodetica

In matematica, e più precisamente in geometria differenziale, una geodetica è la curva più breve che congiunge due punti di uno spazio. Lo spazio in questione può essere una superficie, una più generale varietà riemanniana, o un ancor più generale spazio metrico. Ad esempio, nel piano le geodetiche sono le linee rette, su una sfera sono gli archi di cerchio massimo. Il concetto di geodetica è intimamente correlato a quello di metrica riemanniana, che è connesso con il concetto di distanza.

Geometria del taxi

In matematica, la geometria del taxi o distanza di Manhattan è un concetto geometrico introdotto da Hermann Minkowski secondo il quale la distanza tra due punti è la somma del valore assoluto delle differenze delle loro coordinate.

Geometria euclidea e geometria del taxi: le linee rossa, blu e gialla nella geometria del taxi hanno tutte la stessa lunghezza (12). La linea verde ha lunghezza {\displaystyle {\sqrt {72}}\approx 8.4853}{\displaystyle {\sqrt {72}}\approx 8.4853} nella geometria euclidea, ma continua ad avere lunghezza 12 in quella del taxi (non è quindi più corta delle altre).
Geometria euclidea e geometria del taxi: le linee rossa, blu e gialla nella geometria del taxi hanno tutte la stessa lunghezza (12). La linea verde ha lunghezza {\displaystyle {\sqrt {72}}\approx 8.4853}{\displaystyle {\sqrt {72}}\approx 8.4853} nella geometria euclidea, ma continua ad avere lunghezza 12 in quella del taxi (non è quindi più corta delle altre).

Gruppo iperbolico

In teoria dei gruppi, più precisamente in teoria geometrica dei gruppi, un gruppo iperbolico, detto anche gruppo Gromov-iperbolico, è un gruppo finitamente generato munito di una distanza che soddisfa certe proprietà astratte tipiche della geometria iperbolica classica. La nozione di gruppo iperbolico fu introdotta e sviluppata da Gromov.

Insieme derivato

In matematica, e in particolare in topologia generale, l’insieme derivato di un sottoinsieme  di uno spazio topologico è l’insieme di tutti i punti di accumulazione di . Di solito è indicato con  o .

Insieme limitato

In matematica esistono varie nozioni di limitatezza di un insieme, dipendenti in gran parte dallo spazio in cui è immerso. Euristicamente si può dire che un insieme è limitato se ha “estensione finita”. Un insieme che non è limitato è detto illimitato.

Insieme perfetto

In matematica, e in particolare in topologia, un insieme perfetto è un insieme chiuso senza punti isolati e uno spazio perfetto è uno spazio topologico senza punti isolati. In questi spazi ogni punto può essere approssimato arbitrariamente bene da altri punti, cioè dato un punto e un intorno del punto esiste un altro punto nell’intorno.

Isometria

In matematica, una isometria è una nozione che generalizza quella di movimento rigido di un oggetto o di una figura geometrica. Formalmente, è una funzione fra due spazi metrici che conserva le distanze.

Isometria del piano

In matematica, e in particolare in geometria, si definisce isometria una trasformazione che non modifica le distanze tra i punti.

Matrice unitaria

In matematica, una matrice unitaria è una matrice quadrata complessa  che soddisfa la condizione:

Metrica intrinseca

Nello studio matematico degli spazi metrici, si può considerare la lunghezza d’arco dei cammini nello spazio. Se due punti sono a una certa distanza l’uno dall’altro, è naturale aspettarsi che si dovrebbe essere in grado di arrivare da un punto all’altro lungo un cammino la cui lunghezza d’arco sia uguale alla distanza.

Palla (matematica)

In matematica, una palla è un sinonimo di sfera, che le viene preferito nel caso di spazi non tridimensionali e per gli spazi metrici in generale.

Punto di accumulazione

In matematica il concetto di punto di accumulazione è uno dei principali dell’analisi matematica e della topologia.

Punto di aderenza

In topologia generale, un punto di aderenza ad un sottospazio di uno spazio topologico è un punto che contiene punti “arbitrariamente vicini” di questo sottospazio. Si tratta di una nozione meno restrittiva di quella di punto di accumulazione.

Sfera unitaria

In matematica, una sfera unitaria è l’insieme dei punti che distano 1 da un punto detto centro. Una palla è la regione racchiusa dalla sfera unitaria. Questa nozione è usata nello spazio euclideo e più in generale in qualsiasi spazio metrico.

Spazio convesso

In matematica, gli spazi metrici convessi sono, intuitivamente, spazi metrici con la proprietà che qualsiasi “segmento” che unisce due punti in quello spazio ha altri punti al suo interno oltre ai punti estremi.

Un'illustrazione di uno spazio metrico complesso.
Un’illustrazione di uno spazio metrico complesso.

Spazio metrico

Uno spazio metrico è un insieme di elementi, detti punti, nel quale è definita una distanza, detta anche metrica. Lo spazio metrico più comune è lo spazio euclideo di dimensione 1, 2 o 3.

Spazio metrico completo

In matematica, uno spazio metrico completo è uno spazio metrico in cui tutte le successioni di Cauchy sono convergenti ad un elemento dello spazio. Si tratta di un importante caso particolare di spazio uniforme completo.

Spazio pseudometrico

In matematica, e più precisamente in topologia, uno spazio pseudometrico è una generalizzazione dello spazio metrico, in cui due punti distinti possono avere distanza zero.

Spazio totalmente limitato

In matematica, uno spazio metrico si definisce totalmente limitato se, fissato un raggio arbitrario, è possibile ricoprirlo con un numero finito di palle di quel raggio.

Spazio ultrametrico

In matematica, e più precisamente in topologia, uno spazio ultrametrico è uno speciale spazio metrico che soddisfa una versione rinforzata della disuguaglianza triangolare.

Teorema di Banach-Caccioppoli

In matematica, il teorema di punto fisso di Banach-Caccioppoli, o teorema delle contrazioni, è un importante strumento nella teoria degli spazi metrici; garantisce l’esistenza e l’unicità di un punto fisso per determinate mappe di spazi metrici su sé stessi, e la sua dimostrazione fornisce un metodo costruttivo per trovarli. Il teorema prende il nome da Stefan Banach (1892-1945) e da Renato Caccioppoli (1904-1959), ed è stato formulato la prima volta da Banach nel 1922. Caccioppoli giungerà autonomamente a questo risultato nel 1931.

Teorema di Fréchet-Kuratowski

In matematica, il teorema di Kuratowski-Wojdysławski o teorema di Fréchet-Kuratowski, che prende il nome da Kazimierz Kuratowski e Maurice René Fréchet, stabilisce che ogni spazio metrico può essere incluso in un particolare spazio di Banach. Questa inclusione permette di vedere ogni spazio metrico come sottoinsieme di uno spazio di Banach, consentendo così di sfruttare le proprietà degli spazi di Banach che non sono condivise da tutti gli spazi metrici.

Teorema di Heine-Cantor

In matematica, il teorema di Heine – Cantor è un teorema di analisi matematica riguardante l’uniforme continuità di funzioni definite fra spazi metrici. Prende il nome da Eduard Heine e Georg Cantor.


Da Wikipedia, l’enciclopedia libera.

Rispondi

%d blogger hanno fatto clic su Mi Piace per questo: