Geometria iperbolica: cos’è, tutto sull’argomento

Geometria iperbolica

La geometria iperbolica, detta anche geometria Bolyai-Lobachevskij, è una geometria non euclidea ottenuta sostituendo i postulati paralleli ai cosiddetti postulati iperbolici.

Fu originariamente studiato da Saccheri nel XVIII secolo, ma riteneva che fosse incoerente.In seguito fu studiato da Bolyai, Gauss e Lobačevskij e chiamato come la geometria delle stelle.

A 150 anni dalla sua nascita, la geometria iperbolica rimane il tema centrale della matematica, ed è stata ripresa alla fine degli anni ’70 con la scoperta di William Thurston.

Nella geometria iperbolica, le rette parallele generalmente "divergono" e gli angoli interni di un triangolo sono più piccoli che nella geometria euclidea. Questo è quanto accade ad esempio per le geodetiche su una superficie a forma di sella come questa.
Nella geometria iperbolica, le rette parallele generalmente “divergono” e gli angoli interni di un triangolo sono più piccoli che nella geometria euclidea. Questo è quanto accade ad esempio per le geodetiche su una superficie a forma di sella come questa.

 

Cenni storici

La geometria iperbolica nasce nel XIX secolo come strumento ad hoc per risolvere un problema aperto da secoli e noto già allo stesso Euclide: il V postulato di Euclide è effettivamente indipendente dai precedenti, o può essere dimostrato a partire da questi?

La geometria iperbolica, che soddisfa i primi 4 postulati ma non il quinto, ne mostra l’effettiva indipendenza.

La geometria iperbolica però non viene accettata subito come vera e propria geometria, con dignità pari a quella euclidea.

Le scoperte di Saccheri, Lambert, Legendre, Gauss, Schweikart, Taurinus, Lobačevskij, Bolyai furono giudicate all’inizio sorprendenti e paradossali e solo nel tempo hanno poi trovato una naturale collocazione ed una rigorosa e logica giustificazione.

Lentamente si è scoperto che la geometria iperbolica non è soltanto frutto della negazione del V postulato, ma è una geometria vera e propria con sue proprietà e definizioni, che può essere considerata nuova rispetto a quella euclidea.

La scoperta e lo sviluppo della geometria iperbolica sono quindi un esempio fondamentale di un processo della ricerca matematica che è divenuto usuale negli ultimi due secoli: in matematica può accadere che, modificando un solo assioma, si possa costruire una nuova teoria completa, dove decadono alcune proprietà che sembrano fondamentali, ma si possono scoprire nuovi enti geometrici (come le iperparallele, gli orocicli e le orosfere, etc.) aventi proprietà comunque interessanti.

Definizione

Due rette nel piano che non si intersecano in nessun punto sono dette parallele. Il V postulato di Euclide (o delle parallele, qui espresso in una delle sue numerose formulazioni equivalenti, dovuta a Playfair) asserisce che, data una retta {\displaystyle r}ed un punto {\displaystyle P}, esiste un’unica retta parallela a {\displaystyle r}passante per {\displaystyle P}.

La geometria iperbolica è la geometria ottenuta modificando questo postulato, nel modo seguente:

Data una retta {\displaystyle r}e un punto {\displaystyle P}disgiunto da {\displaystyle r}, esistono almeno due rette distinte passanti per {\displaystyle P}e parallele a {\displaystyle r}.

La geometria iperbolica è una geometria ottenuta modificando il V postulato in direzione opposta. Uno spazio su cui è costruita una geometria iperbolica è detto spazio iperbolico. I primi 4 assiomi di Euclide sono i seguenti.

  1. Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una ed una sola retta.
  2. Si può prolungare una retta oltre i due punti indefinitamente.
  3. Dato un punto e una lunghezza, è possibile descrivere un cerchio.
  4. Tutti gli angoli retti sono congruenti.

Più precisamente il primo postulato non è del tutto verificato nella geometria sferica: sulla superficie di una sfera esistono infatti dei punti, chiamati punti antipodali, per i quali passano infinite rette. Il secondo postulato non è invece mai verificato nella geometria sferica, perché le rette sono sempre limitate, in quanto curve chiuse.

Modelli

L’effettiva esistenza di geometrie iperboliche è garantita dalla costruzione di alcuni modelli. In realtà, questi modelli risultano essere tutti equivalenti fra loro: per questo motivo la geometria iperbolica è sostanzialmente unica, come lo sono la geometria euclidea e la geometria ellittica.

Un modello è uno spazio, comprendente le nozioni di punto, retta e angolo, su cui valgono i 5 assiomi della geometria iperbolica. Vi sono quattro modelli comunemente usati per la geometria iperbolica. In ciascuno di questi modelli, la geometria iperbolica può essere introdotta a vari livelli. Nel senso più classico, può essere introdotta definendo punti, linee rette, angoli, e eventualmente distanze.

Modello del disco

Nel modello del disco di Poincaré, lo spazio iperbolico è formato dai punti interni ad un cerchio {\displaystyle C}. Le rette sono archi di circonferenza che intersecano il bordo del cerchio perpendicolarmente. Gli angoli che formano due di queste “rette” quando si intersecano in un punto sono quelli formati dalle rette tangenti nel punto. La distanza fra due punti è definita in modo tale da crescere esponenzialmente quando uno dei due punti è spostato verso il bordo del cerchio.

I 5 assiomi della geometria iperbolica sono soddisfatti da questo modello. Infatti:

  1. Dati due punti interni a {\displaystyle C}, esiste effettivamente un unico arco di circonferenza perpendicolare al bordo del cerchio passante per i due punti.
  2. Un arco di circonferenza può essere prolungato indefinitamente: il fatto che la distanza tenda a infinito all’avvicinarsi del bordo di {\displaystyle C}implica che tale bordo non è raggiunto mai, e quindi il prolungamento non si interrompe.
  3. È possibile disegnare un cerchio con centro e raggio fissato.
  4. Gli angoli retti sono congruenti.
  5. Dato un punto {\displaystyle P}ed una retta {\displaystyle r}che non lo contiene, esistono almeno due rette passanti per {\displaystyle P}disgiunte da {\displaystyle r}.
Modello del semipiano

Il modello del semipiano è simile al modello del disco. Lo spazio iperbolico è il semipiano del piano cartesiano formato dal I e dal II quadrante: l’asse delle ascisse non è inclusa. Le “rette” sono archi di circonferenza ortogonali all’asse delle ascisse. Gli angoli sono quelli formati dalle rette tangenti.

Modello di Klein

Nel modello di Klein lo spazio iperbolico è (come nel modello del disco) l’insieme dei punti interni ad un cerchio {\displaystyle C}. Le rette sono però segmenti veri e propri: la maggiore semplicità nel descrivere le rette viene però pagata nella descrizione degli angoli, che sono distorti rispetto agli angoli euclidei: l’angolo formato da due rette non è quello euclideo, ma dipende da questo tramite una formula opportuna.

Modello dell’iperboloide

Nel modello dell’iperboloide lo spazio iperbolico è descritto con l’ausilio dell’algebra lineare o anche detta linearizzata. Lo spazio iperbolico è un iperboloide contenuto nello spazio tridimensionale, e le rette sono le intersezioni dell’iperboloide con un piano passante per il centro dell’iperboloide. La descrizione matematica di questo modello ha forti analogie con lo spaziotempo di Minkowski: la distanza fra due punti è la stessa usata nella relatività speciale.

Questo modello è agevole per effettuare alcuni conti, perché si poggia sugli strumenti dell’algebra lineare. Risulta però meno intuitivo e più difficile da visualizzare, perché contenuto nello spazio tridimensionale anziché nel piano.

Proprietà

Parallelismo

La nozione di parallelismo in geometria iperbolica differisce molto da quella presente nella geometria euclidea.

Il quinto postulato iperbolico asserisce che, data una retta {\displaystyle l}ed un punto {\displaystyle P}disgiunto da {\displaystyle l}, esistono almeno due rette parallele a {\displaystyle l}passanti per {\displaystyle P}. Dal postulato risulta però che tali rette sono infinite: questo segue dai fatti seguenti.

  1. Sia {\displaystyle B}il punto di {\displaystyle l}più vicino a {\displaystyle P}. Il segmento {\displaystyle PB}è perpendicolare a {\displaystyle l}(si veda la figura). Ogni retta {\displaystyle s}passante per {\displaystyle P}è adesso identificata dall’angolo {\displaystyle \theta }che forma con il segmento {\displaystyle PB}. L’angolo è detto angolo di parallelismo di {\displaystyle l}{\displaystyle s}.
  2. Se due rette {\displaystyle s_{1}}{\displaystyle s_{2}}sono parallele a {\displaystyle l}, queste formano angoli diversi {\displaystyle \theta _{1}}{\displaystyle \theta _{2}}: ogni altra retta con un angolo compreso fra {\displaystyle \theta _{1}}{\displaystyle \theta _{2}}risulta essere parallela a {\displaystyle l}.

Le rette parallele a {\displaystyle l}passanti per {\displaystyle P}sono tutte e sole le rette con angolo di parallelismo appartenente a un intervallo chiuso {\displaystyle [\theta ,\pi -\theta ]}. Le rette con angolo di parallelismo {\displaystyle \theta }{\displaystyle \pi -\theta }sono dette asintoticamente equivalenti a {\displaystyle l}perché in una direzione queste si avvicinano sempre più a {\displaystyle l}senza mai intersecarla. Due rette parallele che non sono asintoticamente equivalenti sono iperparallele: queste si distanziano in entrambe le direzioni in modo esponenziale.

In geometria iperbolica la nozione di parallelismo è quindi più complessa che nella geometria euclidea: ad esempio, la nozione non è una relazione di equivalenza, perché non vale la proprietà transitiva.

Poligoni

Come nella geometria euclidea, un segmento è una porzione di retta delimitata da due punti (i suoi estremi), ed un poligono è una figura delimitata da una successione di segmenti, tale che due segmenti successivi si intersecano agli estremi.

Le relazioni fra lunghezze dei lati e angoli interni in geometria iperbolica sono però ben diverse da quelle presenti nella geometria euclidea. Ad esempio, la somma degli angoli interni di un triangolo iperbolico è strettamente minore di {\displaystyle \pi }: questa può assumere qualsiasi valore nell’intervallo aperto {\displaystyle (0,\pi )}. Gli angoli interni nella geometria iperbolica sono più piccoli.

Questo fatto si estende a tutti i poligoni: la somma degli angoli interni di un poligono iperbolico con {\displaystyle n}lati è un numero variabile nell’intervallo {\displaystyle (0,(n-2)\pi )}. Ad esempio:

  • Esistono quadrati aventi angoli interni {\displaystyle \alpha }per ogni {\displaystyle \alpha }tale che {\displaystyle 0<\alpha <\pi /2}: un esempio è mostrato in figura.
  • Per ogni {\displaystyle n>4}esiste un poligono di {\displaystyle n}lati della stessa lunghezza con angoli tutti retti.
Costruzioni con riga e compasso

Nella geometria iperbolica è possibile costruire con riga e compasso il segmento avente come angolo di parallelismo un angolo dato.

In alcuni casi è possibile la quadratura del cerchio, contrariamente a quanto accade nella geometria euclidea, dove non è mai possibile determinare con riga e compasso il lato di un quadrato avente la medesima area di un cerchio dato.

Trigonometria

Un altro risultato interessante è dato dalle formule della trigonometria della sfera che sono le stesse sia nello spazio iperbolico sia in quello euclideo poiché le proprietà della geometria della sfera derivano dalle proprietà degli angoloidi e dei triedri, le quali sono proprietà di geometria assoluta.

Il discorso vale anche nel piano, dove la trigonometria iperbolica piana non è altro che la trigonometria applicata su una sfera con raggio immaginario.

Geometria iperbolica dello spazio

La geometria iperbolica si estende dal piano allo spazio, e anche in dimensioni arbitraria. Ciascuno dei modelli di spazio iperbolico ha infatti una naturale generalizzazione in dimensione {\displaystyle n}qualsiasi. Esiste quindi una geometria solida dello spazio iperbolico tridimensionale {\displaystyle n=3}, che è oggetto di studio della matematica contemporanea. Di particolare interesse sono i poliedri iperbolici, come l’ottaedro mostrato in figura.

Angolo di parallelismo

Angolo di parallelismo nel modello del semipiano. Qui la normale {\displaystyle N}N è verticale. Le rette {\displaystyle R}R e {\displaystyle Q}Q sono asintoticamente parallele: convergono entrambe al punto all'infinito 1.Angolo di parallelismo nel modello del semipiano. Qui la normale {\displaystyle N}N è verticale. Le rette {\displaystyle R}R e {\displaystyle Q}Q sono asintoticamente parallele: convergono entrambe al punto all’infinito 1.

 

In geometria iperbolica, l’angolo di parallelismo è una quantità dipendente da una retta {\displaystyle R} e un punto {\displaystyle y} disgiunto da {\displaystyle R}. Indica il minimo angolo che una retta parallela a {\displaystyle R} e passante per {\displaystyle y} forma con la normale a {\displaystyle R} passante per {\displaystyle y}.

A differenza di quanto accade nella geometria euclidea, l’angolo di parallelismo non è retto, bensì acuto.

Definizione

Sia {\displaystyle R} una retta nel piano iperbolico e {\displaystyle y} un punto esterno ad essa. Sia {\displaystyle N} la retta perpendicolare a {\displaystyle R} passante per {\displaystyle y}. Sia {\displaystyle Q} una retta passante per {\displaystyle y} e asintoticamente parallela a {\displaystyle R}. L’angolo acuto formato dalle rette {\displaystyle Q} e {\displaystyle N} è l’angolo di parallelismo di {\displaystyle R} e {\displaystyle y}.

Proprietà

Tutte le rette comprese fra le {\displaystyle x} e {\displaystyle y} qui disegnate sono parallele alla retta {\displaystyle l}.

Rette parallele

L’angolo di parallelismo può essere definito in modo analogo anche in geometria euclidea: in questa geometria, risulta sempre essere un angolo retto ed è quindi meno interessante. In geometria iperbolica, l’angolo {\displaystyle \theta } è invece un angolo acuto, che può variare nell’intervallo aperto {\displaystyle (0,\pi /2)}.

Nella geometria iperbolica, le rette parallele a {\displaystyle R} passanti per {\displaystyle y} sono infinite. Queste sono esattamente le rette che formano con la normale {\displaystyle N} un angolo acuto maggiore o uguale a {\displaystyle \theta }. Le due rette con angolo di parallelismo {\displaystyle \theta } sono asintoticamente parallele a {\displaystyle R}. Tutte le rette con angolo maggiore di {\displaystyle \theta } sono ultraparallele con {\displaystyle R}.

Dipendenza dalla distanza

L’angolo di parallelismo {\displaystyle \theta } in realtà dipende soltanto dalla distanza {\displaystyle d} fra il punto {\displaystyle y} e la retta {\displaystyle R}. Si tratta quindi di una funzione {\displaystyle \theta (d)} definita per ogni valore non negativo di {\displaystyle d}. Si tratta di una funzione decrescente. La relazione fra {\displaystyle \theta } e {\displaystyle d} può essere espressa concretamente con una delle formule seguenti, tutte equivalenti:

  • {\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}=e^{-d},}
  • {\displaystyle \sin \theta ={\frac {1}{\cosh d}},}
  • {\displaystyle \tan \theta ={\frac {1}{\sinh d}},}
  • {\displaystyle \cos \theta =\tanh d.}

Limiti

Quando la distanza {\displaystyle d} tende a zero, l’angolo di parallelismo {\displaystyle \theta } tende all’angolo retto {\displaystyle \pi /2}. Questo fatto è in accordo con il principio seguente: la geometria iperbolica, letta localmente e vista con una lente di ingrandimento, assomiglia alla geometria euclidea (si tratta di un principio generale della geometria riemanniana, valido ad esempio anche nella geometria sferica).

Nelle formule precedenti si è supposto lo spazio iperbolico avente curvatura negativa -1. In uno spazio iperbolico con curvatura negativa arbitraria {\displaystyle k<0}, le due quantità sono in relazione secondo la formula seguente:

{\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}=e^{-{\frac {d}{k}}},}

Corno di Picard

Un corno di Picard è una 3-varietà della geometria iperbolica, teorizzata per la prima volta da Émile Picard nel 1884.

Disco di Poincaré

Una tassellatura del disco di Poincaré tramite triangoli iperbolici.Una tassellatura del disco di Poincaré tramite triangoli iperbolici.

Il disco di Poincaré è un modello di geometria iperbolica, descritto dal matematico francese Jules Henri Poincaré. Un altro modello con caratteristiche simili è il semispazio di Poincaré.

Fascio di rette iperboliche

Nella geometria di Lobacevskij sono definiti tre tipi di rette iperboliche (rette secanti, rette parallele, rette iperparallele. Esse definiscono tre tipi di fasci di rette:

Geometria iperbolica dello spazio

Tassellatura cubica dello spazio iperbolico. Su ogni spigolo incidono 5 cubi (invece di 4), su ogni vertice incidono 20 cubi (invece di 8).Tassellatura cubica dello spazio iperbolico. Su ogni spigolo incidono 5 cubi (invece di 4), su ogni vertice incidono 20 cubi (invece di 8).

Nella geometria iperbolica le figure, a volte ingannevoli, forniscono sovente solo un’idea approssimativa della situazione; pertanto occorre considerare le loro proprietà nel modo più astratto possibile.

Gruppo fuchsiano

Un gruppo fuchsiano è un particolare tipo di gruppo definito in geometria iperbolica.

Gruppo iperbolico

In teoria dei gruppi, più precisamente in teoria geometrica dei gruppi, un gruppo iperbolico, detto anche gruppo Gromov-iperbolico, è un gruppo finitamente generato munito di una distanza che soddisfa certe proprietà astratte tipiche della geometria iperbolica classica. La nozione di gruppo iperbolico fu introdotta e sviluppata da Gromov.

Gruppo modulare

In matematica, il gruppo modulare  è un oggetto fondamentale di studio in teoria dei numeri, geometria, algebra e in molte altre aree della matematica. Il gruppo modulare può essere rappresentato come un gruppo di trasformazioni geometriche o come un gruppo di matrici.

Impacchettamento di sfere apolloniano

Impacchettamento di sfere apollonianoImpacchettamento di sfere apolloniano

L’impacchettamento di sfere apolloniano è l’equivalente tridimensionale della guarnizione apolloniana. Il principio di costruzione è molto simile: se si hanno quattro sfere che sono cotangenti fra loro, è allora possibile costruire due altre sfere che siano cotangenti a quattro di esse.

Isometria dello spazio iperbolico

In geometria, una isometria dello spazio iperbolico è una isometria dello spazio iperbolico . Si tratta cioè di un movimento rigido dello spazio, cioè una funzione che sposta tutti i punti dello spazio mantenendo le distanze fra questi.

Modello di Klein

Il V postulato della geometria iperbolica nel modello di Klein.Il V postulato della geometria iperbolica nel modello di Klein.

Il modello di Klein è un modello di geometria iperbolica, introdotto da Eugenio Beltrami per dimostrare l’indipendenza del V postulato di Euclide dai primi quattro. La descrizione del modello come spazio metrico è dovuta successivamente a Arthur Cayley ed approfondita successivamente da Felix Klein.

Orociclo

Un orociclo blu nel Disco di Poincaré e alcune rette normali rosse. Le rette normali convergono asintoticamente allo stesso punto, ovvero quello in cui orociclo e circonferenza all'infinito si intersecano.Un orociclo blu nel Disco di Poincaré e alcune rette normali rosse. Le rette normali convergono asintoticamente allo stesso punto, ovvero quello in cui orociclo e circonferenza all’infinito si intersecano.

In geometria iperbolica, un orociclo è una curva del piano iperbolico ortogonale a tutte le rette appartenenti ad un fascio.

Orosfera

In geometria iperbolica, l’orosfera è una generalizzazione dell’orociclo in dimensione arbitraria. Nella geometria iperbolica dello spazio, visualizzata nel modello del disco di Poincaré, l’orosfera è effettivamente una sfera, tangente alla sfera di bordo.

Ottaedro iperbolico

Ottaedro iperbolico.Ottaedro iperbolico.

L’ottaedro iperbolico è un poliedro iperbolico. È un caso particolare di ellissoide astroidale.

Parallelismo in geometria iperbolica

La nozione di parallelismo in geometria iperbolica differisce molto da quella presente nella geometria euclidea. Essenzialmente, esistono due tipi di parallelismo in geometria iperbolica: due rette in uno spazio iperbolico possono essere

  • asintoticamente paralleli se sono paralleli ma “si incontrano all’infinito”.
  • ultraparalleli se sono paralleli e divergono all’infinito.

Poligono iperbolico

In matematica, la nozione di poligono iperbolico è analoga a quella di poligono per la geometria euclidea, ma applicata alla geometria iperbolica. Le nozioni di vertice, lato, area, angolo interno sono definite anche in questo contesto.

Pseudosfera

PseudosferaPseudosfera

In geometria, la pseudosfera è una superficie di rivoluzione generata dalla rotazione della trattrice intorno al suo asintoto. È chiamata pseudosfera perché la sua curvatura è costante in ogni punto e opposta a quella di una sfera di raggio R:

Semispazio di Poincaré

Tassellatura eptagonale del modello.Tassellatura eptagonale del modello.

Il semispazio di Poincaré è un modello di geometria iperbolica, descritto dal matematico francese Jules Henri Poincaré. Un altro modello con caratteristiche simili è il disco di Poincaré.

Spazio iperbolico

Una tassellazione del piano iperbolico tramite triangoli.
Una tassellazione del piano iperbolico tramite triangoli.

In matematica, lo spazio iperbolico è uno spazio introdotto indipendentemente dai matematici Bolyai e Lobachevsky nel XIX secolo, su cui è definita una particolare geometria non euclidea, detta geometria iperbolica. Si tratta dell’esempio più importante di geometria non euclidea, assieme alla geometria ellittica.

Superficie di Dini

Superficie di DiniSuperficie di Dini

La superficie di Dini, studiata da Ulisse Dini, può essere vista come una “torsione” della pseudosfera. Più precisamente, è una superficie ottenuta assegnando a una trattrice un moto elicoidale intorno alla propria retta caratteristica. È quindi una superficie elicoidale. Per confronto, la pseudosfera è ottenuta facendo ruotare una trattrice intorno alla propria retta caratteristica, ed è quindi una superficie di rotazione. Come la pseudosfera, la superficie di Dini ha curvatura gaussiana costante negativa.

Teorema di rigidità di Mostow

In geometria differenziale, il teorema di rigidità di Mostow asserisce che una varietà iperbolica completa e di volume finito è determinata dal suo gruppo fondamentale. Il teorema vale soltanto in dimensione maggiore o uguale di tre.

Teoria dell’area in geometria iperbolica

La teoria dell’area in geometria iperbolica è una teoria nell’ambito della geometria iperbolica.

Triangolo iperbolico

Un triangolo iperbolico nel modello del disco di Poincaré. La somma degli angoli interni è sempre minore di {\displaystyle \pi }\pi .Un triangolo iperbolico nel modello del disco di Poincaré. La somma degli angoli interni è sempre minore di {\displaystyle \pi }\pi .

Un triangolo iperbolico è un triangolo in geometria iperbolica.

Varietà iperbolica

In geometria, una varietà iperbolica è una varietà riemanniana avente curvatura sezionale ovunque -1. Se la varietà è completa, questa ha come rivestimento universale lo spazio iperbolico .


Tratto da Wikipedia:

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