Geometria euclidea

Geometria euclidea: cos’è, tutto sull’argomento

Geometria euclidea

La geometria euclidea è un sistema matematico attribuito al matematico alessandrino Euclide, che la descrisse nei suoi Elementi. La sua geometria consiste nell’assunzione di cinque semplici e intuitivi concetti, detti assiomi o postulati e, nella derivazione da detti assiomi, di altre proposizioni (teoremi) che non abbiano alcuna contraddizione con essi. Questa organizzazione della geometria permise l’introduzione della retta, del piano, della lunghezza e dell’area. Sebbene molte delle conclusioni di Euclide fossero già conosciute dai matematici, egli mostrò come queste potessero essere organizzate in una maniera deduttiva e con un sistema logico. Gli Elementi di Euclide incominciano con un’analisi della geometria piana, attualmente insegnata nelle scuole secondarie e utilizzata come primo approccio alle dimostrazioni matematiche, per poi passare alla geometria solida in tre dimensioni. Dopo Euclide sono nati particolari tipi di geometrie che non necessariamente rispettano i cinque postulati; tali geometrie sono definite non euclidee.

3-sfera

Proiezione stereografica degli elementi della 3-sfera: paralleli (in rosso), meridiani (in blu) e ipermeridiani (in verde). Tutte le curve sono cerchi (alcuni di raggio infinito, quindi rette), e in proiezione appaiono intersecarsi sempre ad angolo retto.

 

Proiezione stereografica degli elementi della 3-sfera: paralleli (in rosso), meridiani (in blu) e ipermeridiani (in verde). Tutte le curve sono cerchi (alcuni di raggio infinito, quindi rette), e in proiezione appaiono intersecarsi sempre ad angolo retto.La 3-sfera è una figura geometrica nello spazio euclideo 4-dimensionale, in particolare è l’analogo in questo spazio della sfera. È definita come il luogo dei punti equidistanti da un punto fissato.

Altezza (geometria)

Altezze interna ed esterna di un triangolo.

Altezze interna ed esterna di un triangolo.L’altezza è un segmento caratteristico di alcune forme geometriche.

Angolo diedro

L'angolo diedro compreso tra due semipiani

L’angolo diedro compreso tra due semipianiL’angolo diedro è una possibile estensione del concetto di angolo in uno spazio a tre dimensioni. Viene definito come la porzione di spazio compresa tra due semipiani (facce) aventi per origine la stessa retta, che viene detta spigolo.

Angolo tra una retta e un piano

Nella geometria euclidea l’angolo tra una retta e un piano non paralleli è il minimo angolo tra la retta data e una retta del piano che la intersechi, ovvero l’angolo che i due oggetti definiscono su un piano passante per la retta e perpendicolare al piano dato.

Apotema (geometria)

Apotema

ApotemaIn geometria, con riferimento ai poligoni regolari, l’apotema è il raggio della circonferenza inscritta e corrisponde alla distanza fissa tra l’incentro e ciascuno dei lati. Il rapporto tra apotema e lato è specifico per ciascun poligono regolare e dipende dal numero dei lati. Il suo utilizzo principale è nel calcolo delle aree, combinato al perimetro, in quanto coincide pure con l’altezza degli n triangoli isosceli congruenti in cui è divisibile il poligono.

Asse di un segmento

In geometria euclidea l’asse di un segmento o asse di un lato è la retta perpendicolare al segmento che passa per il suo punto medio.

Assioma di Pasch

Assioma di Pasch

Assioma di PaschL’assioma di Pasch, chiamato così dal nome del matematico tedesco Moritz Pasch, è uno degli assiomi che Hilbert aggiunse ai postulati di Euclide per renderli completi e così assiomatizzare completamente la geometria del piano.

Assiomi di Birkhoff

Nel 1932, George David Birkhoff propose un sistema di quattro postulati per la geometria euclidea, spesso chiamati assiomi di Birkhoff. Tali postulati si fondano tutti sulla geometria di base che può essere confermata sperimentalmente con riga e compasso. Dalla costruzione dei postulati sopra i numeri reali, l’approccio è simile al modello teorico base introdotto dalla geometria euclidea. Altre assiomatizzazioni utilizzate spesso nella geometria piana sono gli assiomi di Hilbert e gli assiomi di Tarski.

Assiomi di Hilbert

Nel 1899, David Hilbert scrisse il suo Grundlagen der Geometrie, in cui dava una sistemazione assiomatica alla geometria euclidea.

Complanarità

In geometria la complanarità è la proprietà di due o più oggetti dello spazio euclideo di giacere sullo stesso piano.

Concetto primitivo

In molte presentazioni di nozioni matematiche per concetto primitivo o nozione primitiva si intende un concetto che, per la propria semplicità ed intuitività, si rinuncia a definire mediante termini e concetti già definiti all’interno di un sistema formale, e che al contrario si sceglie di sfruttare per formulare la definizione di altri concetti; pertanto un concetto primitivo si accetta senza spiegazioni perché il suo significato è ovvio.

Congruenza (geometria)

In geometria, due figure si dicono congruenti, quando hanno la stessa forma e dimensioni, quindi quando sono perfettamente sovrapponibili. Formalmente, sono congruenti quando è possibile trasformare l’una nell’altra per mezzo di una isometria, ovvero per mezzo di una combinazione di traslazioni, rotazioni e riflessioni.

Corpo convesso

Un dodecaedro è un corpo convesso.

Un dodecaedro è un corpo convesso.In matematica, un corpo convesso in uno spazio euclideo n-dimensionale  è un insieme convesso compatto con parte interna non vuota.

Diametro

Le componenti di una circonferenza

Le componenti di una circonferenzaIn geometria il diametro è il segmento che unisce due punti della circonferenza passando per il centro; tali punti sono detti opposti. Misura il doppio del raggio rappresentando la corda massima e la sua relazione con la circonferenza è π.

Disuguaglianza di riarrangiamento

La disuguaglianza di riarrangiamento consiste nell’osservazione che il prodotto scalare fra due vettori è massimo quando le componenti dei vettori sono ordinate nello stesso modo.

Duplicazione del cubo

Il problema della duplicazione del cubo, ossia la costruzione di un cubo avente volume doppio rispetto a quello di un cubo di spigolo dato, costituisce, assieme al problema della trisezione dell’angolo e a quello della quadratura del cerchio, uno dei tre problemi classici della geometria greca.

Ente geometrico fondamentale

Un ente geometrico fondamentale è una entità di base della geometria euclidea. Negli Elementi di Euclide gli enti geometrici fondamentali vengono introdotti senza definizione e sono assunti come intuitivi. Tra questi vi sono il punto, la retta ed il piano.

Equiscomponibilità

In matematica, l’equiscomponibilità è una relazione riguardante figure geometriche come superfici o solidi: si dicono figure equiscomponibili due figure che si possono suddividere in sequenze di parti mutuamente congruenti.

Grundlagen der Geometrie

Grundlagen der Geometrie è un volume pubblicato da David Hilbert nel 1899, il quale ottenne un successo tale da influenzare molti sviluppi della matematica del XX secolo.

Gruppo di riflessione

Un gruppo di riflessione, in geometria e nella teoria dei gruppi, è un gruppo discreto generato dall’insieme delle riflessioni di uno spazio euclideo di dimensione finita. Tra i gruppi di riflessione si annoverano anche i gruppi di Weyl e i gruppi cristallografici di Coxeter.

Incidenza (geometria)

In matematica due insiemi sono incidenti quando hanno almeno un elemento in comune, ovvero quando la loro intersezione non è vuota.

Insieme stellato

Un esempio di insieme stellato.

Un esempio di insieme stellato.In matematica, un insieme  nello spazio euclideo Rn si dice stellato se esiste almeno un punto  in  tale che per tutti i punti  in  il segmento da  a  è contenuto in . Un tale  si dice centro e, se esiste, può non essere unico.

Iperpiano

La nozione di iperpiano è nata in geometria come generalizzazione della nozione di piano e successivamente ha avuto una riformulazione nella combinatoria, più precisamente nella teoria delle matroidi.

Legge del parallelogramma

In geometria la legge del parallelogramma è riassunta dalla formula AC2 + BD2 = 2(AB2 + AD2). Ovvero la somma dei quadrati sulle diagonali è uguale al doppio della somma dei quadrati costruiti su due lati adiacenti.
In geometria la legge del parallelogramma è riassunta dalla formula AC2 + BD2 = 2(AB2 + AD2). Ovvero la somma dei quadrati sulle diagonali è uguale al doppio della somma dei quadrati costruiti su due lati adiacenti.La legge del parallelogramma è la relazione geometrica che lega i lati di un parallelogramma e le sue diagonali; più astrattamente, è l’uguaglianza vettoriale:

Linea spezzata

In geometria, una linea spezzata o polilinea è un insieme finito e totalmente ordinato di segmenti orientati ordinatamente consecutivi e ordinatamente non adiacenti. I segmenti della polilinea sono detti lati della polilinea e gli estremi dei segmenti sono detti vertici della polilinea.

Matematica degli origami

L’arte degli origami è stata oggetto di moltissimi studi matematici. Il loro campo di studi comprende il problema della flat-foldability e l’utilizzo degli origami per la soluzione di equazioni matematiche.

Metodo di esaustione

L'area del cerchio è determinata costruendo una successione di poligoni che assomigliano sempre di più al cerchio. Ad esempio, una successione di poligoni regolari con numero crescente di lati: in figura, un pentagono, un esagono e un ottagono. A seconda che si scelgano poligoni inscritti o circoscritti nella circonferenza, la sua area risulterà essere approssimata inferiormente o superiormente. Entrambe le scelte portano comunque al limite dell'area del cerchio.

L’area del cerchio è determinata costruendo una successione di poligoni che assomigliano sempre di più al cerchio. Ad esempio, una successione di poligoni regolari con numero crescente di lati: in figura, un pentagono, un esagono e un ottagono. A seconda che si scelgano poligoni inscritti o circoscritti nella circonferenza, la sua area risulterà essere approssimata inferiormente o superiormente. Entrambe le scelte portano comunque al limite dell’area del cerchio.Il metodo di esaustione è un procedimento utile a calcolare aree di varie figure geometriche piane. Consiste nella costruzione di una successione di poligoni che convergono alla figura data. L’area della figura risulta essere quindi il limite delle aree dei poligoni.

Ottica (Euclide)

L’Ottica di Euclide è un’opera sulla geometria della visione scritta dal matematico greco antico Euclide intorno al 300 a.C. Il più antico manoscritto sopravvissuto dell’Ottica è in lingua greca e risale al X secolo.

Partizione di Andrzej Szulkin

La partizione di Andrzej Szulkin è una suddivisione dello spazio euclideo tridimensionale in un numero infinito di circonferenze. Questa partizione è stata scoperta dal matematico Andrzej Szulkin nel 1983 e pubblicata nella rivista “The American Mathematical Monthly“.

Piano (geometria)

Rappresentazione di due piani che si intersecano

Rappresentazione di due piani che si intersecanoIl piano è un concetto primitivo della geometria, ossia un concetto per il quale non esiste una definizione formale e che si suppone intuitivamente comprensibile e/o esperianzialmente acquisito, pertanto un’idea universalmente accettata e unica rappresentabile con oggetti concreti che fungono da esempio ma che per la loro sussistenza stessa non risolvono pienamente il concetto.

Primo teorema sull’angolo esterno

Il primo teorema sull’angolo esterno è uno dei principali teoremi della geometria euclidea.

Problema di Regiomontano

I due punti sulla linea di vista sono possibili posizioni dell'occhio dell'osservatore.

I due punti sulla linea di vista sono possibili posizioni dell’occhio dell’osservatore.In matematica, il problema di massimizzazione dell’angolo di Regiomontano è un famoso problema di ottimizzazione proposto nel XV secolo dal matematico tedesco Johannes Müller. Il problema è il seguente:

Punto (geometria)

In geometria il punto è un concetto primitivo. Intuitivamente equivale ad un’entità adimensionale spaziale, per cui può essere considerato semplicemente come una posizione, cioè come una coordinata.

Quadratrice

In matematica la quadratrice è una curva i cui punti possono essere impiegati per determinare l’area di una seconda curva. La più celebre di tali curve è quella di Dinostrato.

Relazione di equipollenza

In geometria euclidea, la relazione di equipollenza è una relazione binaria tra segmenti orientati. Due segmenti orientati (A,B) e (C,D) con AB e CD si dicono equipollenti se hanno:

  • la stessa lunghezza;
  • la stessa direzione;
  • lo stesso verso;

Retta

La retta o linea retta è uno dei tre enti geometrici fondamentali della geometria euclidea. Viene definita da Euclide nei suoi Elementi come un concetto primitivo. Un filo di cotone o di spago ben teso tra due punti è un modello materiale che ci può aiutare a capire cosa sia la retta, un ente geometrico immateriale senza spessore e con una sola dimensione.

Schema di fregio

Esempio di schema di fregio

Esempio di schema di fregioIn geometria uno schema di fregio è un concetto che designa uno dei numerosi piastrellamenti che ripetono un oggetto secondo una traslazione, classificata da ciò che contiene.

Secondo teorema dell’angolo esterno

Angolo esterno

Angolo esternoIl Secondo teorema dell’angolo esterno, anche detto Teorema dell’angolo esterno (somma), spiega con una semplice dimostrazione che in un triangolo qualsiasi, l’angolo esterno corrispondente ad uno degli angoli interni è congruente alla somma degli altri due angoli interni. In formula, α=β+γ.

Segmento

In geometria un segmento è una parte di retta compresa tra due punti, detti estremi del segmento.

Semiretta

In geometria, la semiretta è l’insieme formato da un punto su una retta data e una delle due parti in cui tale retta viene di

Semispazio

Semispazio

SemispazioIn geometria, un semispazio è ciascuna delle due parti in cui un piano divide lo spazio euclideo tridimensionale. Più in generale, un semispazio è ciascuna delle due parti in cui un iperpiano divide uno spazio affine. In altri termini, i punti che non giacciono sull’iperpiano sono partizionati in due insiemi convessi, in modo che ogni sottospazio che connette un punto di un insieme con un punto dell’altro deve intersecare l’iperpiano.

Somma di Minkowski

In geometria la somma di Minkowski di due insiemi di punti  e  in uno spazio vettoriale è l’insieme dei punti ottenuti addizionando gli elementi di  con quelli di . Se lo spazio vettoriale è il piano o lo spazio euclideo, la somma è un’operazione binaria tra due forme geometriche.

Spazio euclideo

Ogni punto dello spazio euclideo tridimensionale è determinato da tre coordinate.

Ogni punto dello spazio euclideo tridimensionale è determinato da tre coordinate.In matematica, uno spazio euclideo è uno spazio affine in cui valgono gli assiomi e i postulati della geometria euclidea. Si tratta dello spazio di tutte le n-uple di numeri reali, che viene munito di un prodotto interno reale per definire i concetti di distanza, lunghezza e angolo. È un particolare esempio di spazio affine reale che fornisce una generalizzazione degli spazi a due e a tre dimensioni studiati dalla geometria euclidea. Lo spazio euclideo è uno spazio di Hilbert reale a dimensione finita.

Supershape

Alcuni esempi di parametri per la superformula: a=b=1; m, n1, n2 e n3 assumono i valori mostrati in figura.

Alcuni esempi di parametri per la superformula: a=b=1; m, n1, n2 e n3 assumono i valori mostrati in figura.La superformula è una generalizzazione delle funzioni circolari a due dimensioni in coordinate polari, che permette tramite pochi parametri di ricavare moltissime forme geometriche, dette superforme.

Teorema delle corde

Euclide, Elementi, Libro III, Proposizione 35: "Se in un cerchio due corde si tagliano fra loro, il rettangolo compreso dalle parti dell'una è uguale al rettangolo compreso dalle parti dell'altra"

Euclide, Elementi, Libro III, Proposizione 35: “Se in un cerchio due corde si tagliano fra loro, il rettangolo compreso dalle parti dell’una è uguale al rettangolo compreso dalle parti dell’altra”In geometria, il Teorema delle Corde è un teorema che dimostra che se in un cerchio due corde si intersecano fra loro, allora il rettangolo con lati congruenti alle due parti di una corda ha la stessa area del rettangolo con lati congruenti alle due parti dell’altra. Questo teorema compare negli Elementi di Euclide, più precisamente è la Proposizione 35 del Libro III.

Teorema delle rette parallele

Il teorema delle rette parallele, molto utilizzato nella geometria euclidea, è famoso anche perché la sua dimostrazione è per assurdo.

Teorema delle tangenti e delle secanti

Il Teorema delle tangenti e delle secanti è un teorema della geometria euclidea che descrive il rapporto tra il segmento tangente a una circonferenza e i segmenti intersecati dalla circonferenza su una secante.

Teorema di Barbier

In matematica, il teorema di Barbier è un teorema di geometria euclidea, dimostrato da Joseph Emile Barbier, che afferma che le curve di larghezza costante  hanno perimetro pari a π l.

Teorema di Bolyai-Gerwien

In geometria, il teorema di Bolyai-Gerwien – anche conosciuto come il teorema di Wallace-Bolyai-Gerwien, – afferma che

Teorema di Eulero (geometria)

In geometria euclidea, il nome di teorema di Eulero identifica almeno due teoremi diversi.

Teorema di Jung

Il teorema di Jung in geometria è un teorema riguardante la distribuzione di punti nel piano. Venne formulato nel 1901 dal matematico tedesco Heinrich Jung.

Teorema di Menelao

Il teorema di Menelao è un noto teorema in geometria elementare, attribuito al matematico Menelao di Alessandria, che tratta dei triangoli nella geometria piana.

Teorema di Monsky

Il teorema di Monsky stabilisce che non è possibile scomporre un quadrato in un numero dispari di triangoli equivalenti.

Teorema di Morley

Il teorema di Morley afferma che se ogni angolo del triangolo viene diviso in tre parti uguali da due trisettrici, allora il triangolo in viola è un triangolo equilatero.

Il teorema di Morley afferma che se ogni angolo del triangolo viene diviso in tre parti uguali da due trisettrici, allora il triangolo in viola è un triangolo equilatero.In geometria, il teorema di Morley stabilisce che i punti di intersezione delle coppie di trisettrici degli angoli adiacenti allo stesso lato di un qualsiasi triangolo, sono i vertici di un triangolo equilatero, chiamato “primo triangolo di Morley” o più semplicemente “triangolo di Morley”. Tale teorema fu enunciato per la prima volta nel 1899 dal matematico anglo-americano Frank Morley. Il teorema, chiamato anche “miracolo di Morley”, per la sua generalità e semplicità, è stato oggetto poi di varie generalizzazioni, una delle quali mostra in particolare che, se tutte le trisecanti si intersecano, si ottengono altri quattro triangoli equilateri.

Teorema di Pasch

Il teorema di Pasch è un risultato, stabilito dal matematico Moritz Pasch nel 1882 che, nell’ambito della geometria della retta, stabilisce la seguente proprietà dell’ordinamento dei punti:

Teorema di Pitagora

Il teorema di Pitagora è un teorema della geometria euclidea che stabilisce una relazione fondamentale tra i lati di un triangolo rettangolo.

Teorema di Pohlke

Il teorema di Pohlke o teorema fondamentale dell’assonometria è un teorema di geometria enunciato dal pittore e matematico tedesco Karl Wilhelm Pohlke nel 1860.

Teorema di Sylvester-Gallai

Il teorema di Sylvester–Gallai afferma che, dato un insieme finito di almeno 3 punti del piano, non è possibile disporli in una configurazione tale che ogni retta che passi per due punti ne contenga anche un terzo, fatto salvo il caso in cui siano tutti allineati.

Teorema di Talete

In geometria, il teorema di Talete è un teorema riguardante i legami tra i segmenti omologhi creati sulle trasversali da un fascio di rette parallele.

Teorema di Tolomeo

Il Teorema di Tolomeo è un teorema della geometria euclidea che stabilisce la relazione fra i lati e le diagonali di un quadrilatero ciclico, ovvero un quadrilatero inscritto in una circonferenza. Il teorema compare nel libro primo dell’Almagesto di Claudio Tolomeo.

Teorema di Viviani

Per ogni punto (interno) P di un triangolo equilatero, la somma delle sue distanze dai tre lati s + u + t è costante, e uguale all'altezza del triangolo.

Per ogni punto (interno) P di un triangolo equilatero, la somma delle sue distanze dai tre lati s + u + t è costante, e uguale all’altezza del triangolo.Il teorema di Viviani, un teorema della geometria euclidea, afferma che la somma delle tre distanze dai lati di un qualunque punto di un triangolo equilatero è costante, e uguale all’altezza del triangolo. Prende il nome dal matematico italiano Vincenzo Viviani (1622-1703) che lo dimostrò.

Trilaterazione

La trilaterazione è una tecnica che permette di calcolare distanze fra punti sfruttando le proprietà dei triangoli.

Trisettore

In matematica e geometria si definisce trisettore o triplicatore uno strumento che consente la trisezione dell’angolo ossia la suddivisione di un angolo in tre parti uguali.
In generale, gli elementi fondamentali di un trisettore sono quattro aste principali vincolate tutte ad un perno, attorno al quale esse ruotano, e tra loro, a due a due, da altre asticelle con estremi vincolati a perni o a muoversi lungo particolari traiettorie, al fine di mantenere uguali le ampiezze dei tre angoli formati dalle aste principali durante il loro moto di rotazione intorno al perno.

Trisezione dell’angolo

La trisezione di un angolo, vale a dire la costruzione di un angolo di ampiezza un terzo di un altro angolo qualsiasi dato, assieme al problema della duplicazione del cubo e a quello della quadratura del cerchio, è uno dei tre problemi classici della geometria greca che, come ha dimostrato algebricamente Pierre-Laurent Wantzel nel 1837, non si può risolvere con riga e compasso, ossia con costruzioni geometriche che impiegano solo rette e circonferenze.

V postulato di Euclide

Il V postulato di Euclide è il postulato più conosciuto fra quelli che il matematico Euclide enuncia nei suoi Elementi. I matematici si sono cimentati per più di duemila anni nel tentativo di dedurlo dai primi quattro postulati, finché nell’Ottocento hanno effettivamente dimostrato la sua indeducibilità. Modificando questo postulato si creano geometrie diverse, dette non euclidee.


Tratto da Wikipedia:

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