Funzioni speciali

Funzioni speciali: tutto sull’argomento

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33-XX

33-XX è la sigla della categoria dello schema di classificazione MSC dedicata alle funzioni speciali.

Funzione speciale

In matematica sono chiamate funzioni speciali delle specifiche funzioni di variabili reali o complesse a valori reali o complessi che hanno proprietà che le rendono utili in diverse applicazioni e che rendono opportuno il loro studio sistematico, soprattutto per quanto riguarda le loro applicazioni computazionali e le loro connessioni con altre funzioni, equazioni differenziali e di altri generi e altre strutture non necessariamente continue.

Approssimazione di Stirling

In matematica l’approssimazione di Stirling o formula di Stirling o formula approssimata di Stirling è un’approssimazione per fattoriali grandi. Deve il suo nome al matematico scozzese James Stirling (1692-1770).

Bateman manuscript project

Il Bateman manuscript project è una collezione di libri sulla teoria delle funzioni speciali pubblicati nel 1953 e basati sugli appunti di Harry Bateman. Curatori scientifici erano Arthur Erdélyi, Francesco Tricomi, Wilhelm Magnus, e Fritz Oberhettinger.

Polinomio di Bernoulli

In matematica, i polinomi di Bernoulli si incontrano nello studio di molte funzioni speciali e in particolare della funzione zeta di Riemann e della funzione zeta di Hurwitz. Questo in gran parte è dovuto al fatto che essi costituiscono la sequenza di Sheffer relativa all’ordinario operatore di derivazione. Contrariamente alle successioni di polinomi ortogonali, la successione dei polinomi di Bernoulli è caratterizzata dal fatto che il numero delle intersezioni con l’asse delle x nell’intervallo unitario non cresce illimitatamente al crescere del grado dei polinomi. Al crescere del grado i polinomi di Bernoulli, sottoposti ad appropriate omotetie, approssimano le funzioni seno e coseno.

Coefficiente binomiale

In matematica, il coefficiente binomiale  è un numero intero non negativo definito dalla seguente formula

Coppia di Poiret

Nella teoria dei segnali si definisce coppia di Poiret un sistema ordinato di impulso-risposta in cui la convergenza non influisce in alcun modo su un numero discreto n di valori trasformati unilateri quando il sistema è stabile rispetto all’intervallo di tempo nel dominio della frequenza preso in considerazione.

Crescita esponenziale

La crescita esponenziale si verifica quando il tasso di crescita di una funzione matematica è proporzionale al valore attuale della funzione. Nel caso di un dominio di definizione discreto decadimento geometrico.

Decadimento esponenziale

Una quantità è soggetta a decadimento esponenziale se diminuisce a una velocità proporzionale

Derivata logaritmica

In matematica, e in particolare nel calcolo infinitesimale e nell’analisi complessa, la derivata logaritmica di una funzione  derivabile è definita come

Derivazione delle funzioni iperboliche

L’equazione dell’iperbole equilatera in figura è:

Digital Library of Mathematical Functions

La Digital Library of Mathematical Functions, in breve DLMF, è un progetto online che raccoglie informazioni sulle funzioni speciali. Può essere considerato un successore dello Handbook of Mathematical Functions. Questa opera, nota anche come Abramowitz e Stegun, sviluppata presso il National Bureau of Standards degli Stati Uniti (NBS), pubblicata nel 1964, è stata un vero best seller tecnico ed è una delle opere di riferimento per la matematica più citate; tuttavia i rilevanti progressi nello studio delle funzioni speciali lo stanno rendendo sempre più inadeguato.

Equazione di Heun

In matematica, l’equazione di Heun è un’estensione dell’equazione di Papperitz-Riemann che ha la forma:

Equazione di Papperitz-Riemann

In matematica, l’equazione di Papperitz-Riemann o equazione di Papperitz è un’equazione differenziale del secondo ordine che rappresenta la più generale equazione totalmente fuchsiana con tre punti fuchsiani. Molte delle equazioni che s’incontrano nella fisica matematica sono equazioni di questo tipo, o sono riconducibili a un’equazione ipergeometrica confluente, e gran parte delle funzioni speciali sono soluzioni di queste equazioni.

Equazione ipergeometrica

In matematica, l’equazione ipergeometrica è una equazione differenziale ordinaria lineare ottenuta a partire dall’equazione di Papperitz-Riemann. Le sue soluzioni sono dette funzioni ipergeometriche, e rivestono grande importanza in matematica. Ogni equazione differenziale ordinaria del secondo ordine con al massimo tre singolarità regolari può essere trasformata nell’equazione ipergeometrica.

Equazione ipergeometrica confluente

In matematica, l’equazione ipergeometrica confluente o equazione di Kummer, da Ernst Kummer, è un’equazione differenziale lineare del secondo ordine ottenuta a partire dall’equazione di Papperitz-Riemann facendo confluire due singolarità in un solo punto; è strettamente legata con l’equazione ipergeometrica e le sue soluzioni, le funzioni ipergeometriche. Ciascuna delle soluzioni dell’equazione ipergeometrica confluente è analogamente chiamata funzione ipergeometrica confluente.

Fattoriale

In matematica, si definisce fattoriale di un numero naturale , indicato con , il prodotto dei numeri interi positivi minori o uguali a tale numero. In formula:

Fattoriale crescente

In matematica, per fattoriale crescente di  con  fattori si intende il prodotto della forma

.

Fattoriale crescente di base q

In matematica, nel campo della combinatoria, si dice fattoriale crescente di base q nella x relativo a  la serie

Funzione abeliana

In matematica si definisce funzione abeliana una funzione  analitica uniforme delle p variabili analitiche indipendenti  che presenta le seguenti caratteristiche:

  • è periodica ed ammette 2p periodi vettoriali indipendenti ovvero esistono p costanti

Funzione associata di Legendre

polinomi associati di Legendre sono polinomi definibili direttamente a partire dai polinomi di Legendre, il cui impiego è particolarmente utile nella descrizione delle armoniche sferiche e quindi nella loro applicazione in meccanica quantistica.

Funzione beta di Dirichlet

In matematica la funzione beta di Dirichlet, nota anche come funzione beta di Catalan, è una funzione speciale strettamente collegata alla funzione zeta di Riemann. È una particolare L-funzione di Dirichlet, la L-funzione per il carattere alternato di periodo quattro.

Funzione beta di Eulero

La funzione beta di Eulero, detta anche integrale di Eulero del primo tipo, è data dall’integrale definito:

Funzione boxcar

In matematica, una funzione boxcar o funzione vagone merci è una qualsiasi funzione che vale zero per qualsiasi valore reale tranne che per un singolo intervallo in cui è uguale a u

Funzione di Cantor

In matematica, la funzione di Cantor è un esempio di funzione continua e crescente nonostante abbia derivata zero in quasi tutti i punti essendo costante in tutti i sottointervalli di [0,1] che non contengono punti dell’insieme di Cantor. Intuitivamente, è una scala con infiniti gradini, tutti di pendenza zero, ma ad altezze progressivamente crescenti, in modo che la penden

Funzione di Dirichlet

La funzione di Dirichlet è una funzione di variabile reale, che assume due soli valori, diversi a seconda che la variabile indipendente sia razionale o irrazionale. Questa funzione fu introdotta da Peter Dirichlet come esempio di funzione molto lontana dalle tradizionali funzioni note fino ad allora nell’analisi matematica.

Funzione di Mittag-Leffler

La funzione di Mittag-Leffler  è una funzione speciale introdotta dal matematico svedese Gösta Mittag-Leffler nel 1903. È definita con la serie di potenze:

Funzione di Thomae

La funzione di Thomae, da Carl Johannes Thomae, ha molti nomi, come la funzione popcorn, la funzione di Dirichlet modificata e la funzione Riemann. Questa funzione a valori reali è definita come

 

Funzione di variabile complessa

In matematica, si definisce funzione di variabile complessa una funzione definita su un sottoinsieme dei numeri complessi a valori in quello stesso insieme. In genere la variabile complessa si denota con , la sua parte reale con  e la sua parte immaginaria con , in modo che si possa scriv

Funzione di Whittaker

In matematica, una funzione di Whittaker, il cui nome si deve al matematico inglese Edmund Taylor Whittaker, è una soluzione dell’equazione di Whittaker, una variante dell’equazione ipergeometrica confluente che ha la forma:

Funzione digamma

In matematica, per funzione digamma si intende la funzione speciale definita come derivata logaritmica della funzione gamma:

Funzione E di MacRobert

La funzione E fu definita da Thomas Murray MacRobert nel 1938 per generalizzare la funzione ipergeometrica generalizzata  al caso . Lo scopo finale era quello di introdurre una funzione talmente generale che potesse includere come caso particolare la maggioranza delle funzioni speciali note fino ad allora. Tuttavia tale funzione non ha av

Funzione elementare

In matematica, una funzione è detta elementare se è una funzione algebrica, esponenziale, logaritmica o se si ottiene da queste classi di funzioni mediante un numero finito di applicazioni delle operazioni aritmetiche elementari e della composizione di funzioni. Sono incluse in questo elenco anche le funzioni trigonometriche e la funzione valore assoluto.

Funzione ellittica

In matematica, e in particolare in analisi complessa, per funzione ellittica, si intende una funzione definita sul piano complesso che risulta periodica secondo due direzioni. Le funzioni ellittiche si possono considerare come una generalizzazione delle funzioni trigonometriche in quanto funzioni periodiche con un solo periodo. Storicamente le funzioni ellittiche sono state scoperte come funzioni inverse degli integrali ellittici i quali a loro volta sono stati studiati in connessione con il problema della lunghezza dell’arco dell’ellisse.

Funzione esponenziale

In matematica, la funzione esponenziale è la funzione che associa a un valore  l’elevamento a potenza con base il numero di Eulero  ed esponente . La scelta della base  è motivata dal fatto che, in questo modo, la derivata della funzione esponenziale è la funzione esponenziale stessa. Viene solitamente rap

Funzione eta di Dedekind

In matematica, la funzione eta di Dedekind è una forma modulare di peso 1/2 ed è una funzione definita nella metà superiore del piano complesso dei numeri complessi, dove la parte immaginaria è positiva.

Funzione G di Meijer

In matematica, la funzione G di Meijer è una funzione introdotta da Cornelis Simon Meijer nel 1936 con il proposito di definire una funzione molto generale che potesse includere come caso particolare la maggior parte delle funzioni speciali allora note. Questo non fu l’unico tentativo in questo senso: già la funzione ipergeometrica e la funzione E di MacRobert avevano lo stesso scopo, ma la funzione di Meijer andò oltre includendo anche queste altre funzioni come caso particolare. La prima definizione di Meijer fu fatta attraverso una serie; oggigiorno la definizione utilizzata è quella attraverso un opportuno integrale in campo complesso, ideato da Erdélyi nel 1953. Con la corrente formulazione, è possibile esprimere la maggior parte delle funzioni speciali in termini della funzione G di Meijer e della funzione Gamma.

Funzione Gamma

In matematica, la funzione Gamma, nota anche come funzione gamma di Eulero è una funzione meromorfa, continua sui numeri reali positivi, che estende il concetto di fattoriale ai numeri complessi, nel senso che per ogni numero intero non negativo  si ha:

Funzione gamma incompleta

Le funzioni gamma incomplete sono funzioni speciali definite da integrali.

Funzione gaussiana

In matematica, una funzione gaussiana prende il nome dal grande matematico tedesco Carl Friedrich Gauss ed è una funzione della seguente forma:

 

Funzione gradino di Heaviside

In matematica e fisica, la funzione gradino di Heaviside o funzione a gradino unitaria, il cui nome si deve a Oliver Heaviside, è una funzione discontinua che ha valore zero per argomenti negativi e uno per argomenti positivi. Può essere definita sia come una funzione continua a tratti o come una distribuzio

Funzione gudermanniana

La funzione gudermanniana collega le funzioni trigonometriche alle funzioni iperboliche senza ricorrere ai numeri complessi.

Funzione L

In teoria dei numeri analitica, con funzioni L si denotano alcuni particolari tipi di funzioni speciali definite sui numeri complessi che generalizzano la funzione zeta di Riemann, codificando informazioni aritmetiche e geometriche. Oltre alla stessa funzione zeta di Riemann, altre importanti classi di funzioni L sono le funzioni L di Dirichlet e le funzioni L di Hecke.

Funzione L di Dirichlet

Le funzioni L di Dirichlet sono definite, dato un carattere di Dirichlet modulo q, come

Funzione poligamma

In matematica, per funzione poligamma di ordine m si intende la funzione speciale definita come derivata logaritmica m+1-esima della funzione Gamma:

.

Funzione q-esponenziale

Nella matematica combinatoria e nello studio delle funzioni speciali il termine q-esponenziale viene usato per due q-analoghi della classica funzione esponenziale.

Funzione trascendente di Lerch

In matematica, la funzione trascendente di Lerch è una generalizzazione della funzione zeta di Hurwitz e della funzione polilogaritmo. Fu studiata da Lipschitz nel 1857 e poi da Lerch nel 1887.

Funzione W di Lambert

In matematica, la funzione W di Lambert, anche detta funzione Omega, è un insieme di funzioni, esplicitamente i rami della funzione inversa della funzione f(w) = wew, dove ew è la funzione esponenziale e w è un qualsiasi numero complesso. In altre parole l’equazione che definisce W(z) è

Funzione zeta di Riemann

In matematica, la funzione zeta di Riemann è una funzione che riveste una fondamentale importanza nella teoria analitica dei numeri e ha notevoli risvolti in fisica, teoria della probabil

Funzioni di Anger

In matematica, le funzioni di Anger sono funzioni speciali introdotte da C. T. Anger nel 1855. Si tratta di soluzioni dell’equazione di Bessel:

Funzioni di Bickley-Naylor

Le funzioni di Bickley-Naylor , dove  e  sono definite come:

 

Funzioni di Bourget-Giuliani

Le funzioni di Bourget-Giuliani furono introdotte nel 1861 dal matematico francese Bourget, in relazione ai problemi di astronomia. Sono definite dall’integrale:

Funzioni di Debye

In matematica, le funzioni di Debye sono una classe di funzioni speciali definite come

Funzioni di Lamé

In matematica, le funzioni di Lamé sono funzioni speciali introdotte nel 1839 dal matematico francese Gabriel Lamé nel suo studio dell’equazione di Laplace in coordinate ellissoidali. Furono studiate indipendentemente anche dal matematico tedesco Carl Gustav Jakob Jacobi nel medesimo anno.

Funzioni di Lommel

n matematica, con funzioni di Lommel, in riferimento a Eugen von Lommel, vengono identificati diversi tipi di funzioni tra cui le soluzioni dell’equazione di Lommel, una generalizzazione dell’equazione di Bessel. Esse possono essere:

  • funzioni dipendenti da una sola variabile , indicate con

Funzioni di Mathieu

In matematica, le funzioni di Mathieu sono funzioni speciali definite come soluzioni dell’equazione di Mathieu, un’equazione differenziale ordinaria del secondo ordine, un caso particolare dell’equazione di Hill.

Funzioni di Struve modificate

In matematica le funzioni di Struve modificate sono funzioni speciali strettamente collegate alle funzioni di Struve e alle funzioni di Bessel sferiche modificate.

Funzioni di Weber

In matematica, le funzioni di Weber sono funzioni speciali introdotte da Heinrich Friedrich Weber nel 1879, soluzioni dell’equazione di Bessel non omogenea. Sono una combinazione lineare delle funzioni di Anger per  non intero, mentre sono combinazione lineare delle funzioni di Struve se  è intero.

Funzioni ellittiche di Jacobi

In matematica, le funzioni ellittiche di Jacobi costituiscono una famiglia di funzioni ellittiche basilari che sono state introdotte dal matematico tedesco Carl Gustav Jakob Jacobi intorno al 1830. Esse e le funzioni theta hanno importanza storica e presentano molte caratteristiche che contribuiscono a far emergere un’importante struttura; inoltre hanno diretta rilevanza per talune applicazioni, ad esempio per le equazioni del pendolo. Esse inoltre presentano utili analogie con le funzioni trigonometriche, come rivelato dalla scelta della notazione sn per una funzione associabile alla funzione sin. Oggi sappiamo che le funzioni ellittiche di Jacobi non sono gli strumenti più semplici per lo sviluppo di una teoria generale, come si vede anche nell’attuale articolo: strumenti migliori sono le funzioni ellittiche di Weierstrass. Le funzioni di Jacobi presentano comunque vari motivi di interesse.

Funzioni ellittiche di Weierstrass

In matematica, le funzioni ellittiche di Weierstrass costituiscono uno dei due tipi esemplari di funzioni ellittiche. Esse prendono nome dal matematico tedesco Karl Weierstrass (1815-1897).

Funzioni iperboliche

In matematica, le funzioni iperboliche costituiscono una famiglia di funzioni elementari dotate di alcune proprietà analoghe a corrispondenti proprietà delle ordinarie funzioni trigonometriche.

Funzioni theta

In matematica, le funzioni theta di Jacobi sono funzioni speciali utili in analisi complessa.

Funzione G di Barnes

In matematica, la funzione G di Barnes è una funzione speciale intera che costituisce una estensione a un dominio complesso della successione dei superfattoriali ed è collegata alla funzione Gamma e alla funzione K. Il suo nome ricorda il matematico inglese Ernest William Barnes (1874-1953) e solitamente viene denotata con .

Integrale di Fermi-Dirac completo

In matematica, l’integrale di Fermi–Dirac completo, intitolato a Enrico Fermi e Paul Dirac, per un indice è definito da

Integrale di Fermi-Dirac incompleto

In matematica, l’integrale di Fermi-Dirac incompleto per un indice j è dato da

Integrale di Fresnel

Gli integrali di Fresnel e , sono due funzioni speciali trascendenti introdotte in ottica dall’ingegnere francese Augustin-Jean Fresnel per studiare i fenomeni della diffrazione.

Iperfattoriale

In matematica, si definisce iperfattoriale di un numero naturale , indicato con , il prodotto dei numeri interi positivi minori o uguali a tale numero, ciascuno elevato ad una potenza uguale ad esso stesso. In formula:

Funzione K

In matematica la funzione K, è una funzione speciale che costituisce una estensione a un dominio complesso della successione di interi chiamata iperfattoriale da Neil Sloane e Simon Plouffe, così come la funzione Gamma è una estensione complessa della successione dei fattoriali.

Larghezza a metà altezza

In statistica, la larghezza a metà altezza, in sigla FWHM, è la larghezza di una funzione data dalla differenza fra i valori assunti dalla variabile indipendente  quando la variabile dipendente  è pari a metà del suo valore massimo. Un concetto correlato è la semi-larghezza a metà 

Lista di funzioni

In matematica, parecchie funzioni sono abbastanza importanti, in termini di applicazioni e di collegamenti con altre entità matematiche, da meritare un proprio nome ed un proprio simbolo. Questa pagina è dedicata a un elenco di funzioni matematiche, elenco di pagine che presentano varie caratteristiche di queste entità.

Numeri di Bernoulli

In matematica, i numeri di Bernoulli  costituiscono una successione di numeri razionali che gioca un ruolo importante in vari problemi. Accanto a essi conviene prendere in considerazione i polinomi di Bernoulli che si possono considerare una loro generalizzazione.

Funzione parabolica del cilindro

In matematica, una funzione parabolica del cilindro è una funzione speciale che è soluzione dell’equazione differenziale lineare del secondo ordine detta equazione di Weber, un caso particolare dell’equazione ipergeometrica confluente che ha la forma:

Pettine di Dirac

In matematica, il pettine di Dirac è una distribuzione periodica costruita da una somma di delta di Dirac:

Polilogaritmo

In matematica, il polilogaritmo è una funzione speciale che generalizza il logaritmo. Dato un numero complesso, si definisce la funzione polilogaritmo di ordine s e argomento (complesso) z la serie di potenze

Polilogaritmo incompleto

In matematica, la funzione polilogaritmo incompleto è correlata alla funzione polilogaritmo. A volte è noto come integrale di Fermi-Dirac incompleto o integrale di Bose-Einstein incompleto. Può essere definito da:

Q-serie ipergeometrica

In matematica, le q-serie ipergeometriche, chiamate anche serie ipergeometriche basiche, sono generalizzazioni q-analoghe delle serie ipergeometriche ordinarie. Si definiscono comunemente due tipi di q-serie, le q-serie ipergeometriche unilaterali e le q-serie ipergeometriche bilaterali.

Funzione rettangolo

In matematica, la funzione rettangolo, o funzione porta, è una funzione speciale di variabile reale, molto usata in teoria dei segnali, la cui definizione avviene nel modo seguente:

Simbolo P di Riemann

In matematica, il simbolo P di Riemann è stato introdotto per rappresentare in modo semplice e immediato le soluzioni dell’equazione di Papperitz-Riemann, in quanto risulta molto comodo da maneggiare, possiede semplici proprietà di trasformazione e permette di ricostruire la soluzione nella sua forma esplicita in qualunque momento. Questo simbolo viene utilizzato per varie formule riguardanti funzioni speciali.

Funzioni di Struve

In matematica, le funzioni di Struve sono funzioni speciali che sono soluzioni dell’equazione differenziale lineare del secondo ordine non omogenea di Bessel:

Superfattoriale

In matematica, esistono più definizioni di superfattoriale.

Teorema di Bohr-Mollerup

In analisi matematica, il teorema di Bohr-Mollerup è un teorema che prende il nome dai matematici danesi Harald Bohr e Johannes Mollerup, che lo dimostratono nel 1922. Il teorema caratterizza la funzione Gamma, definita per  da

Teorema di Hölder

Nell’analisi matematica, il teorema di Hölder afferma che la funzione Gamma non soddisfa nessuna equazione differenziale algebrica i cui coefficienti sono funzioni razionali. Questo risultato fu per la prima volta dimostrato da Otto Hölder nel 1887; successivamente vennero trovate molte altre dimostrazioni alternative.

Funzione di test

In matematica una funzione di test o funzione bump è una funzione di variabile reale a valori reali liscia, a supporto compatto e definita sullo spazio euclideo. Si tratta di una classe di funzioni di particolare importanza in quanto permette di definire lo spazio delle distribuzioni, il duale dello spazio delle funzioni di test.

Funzione zeta di Hurwitz

In matematica, in particolare in teoria analitica dei numeri, la funzione zeta di Hurwitz è una funzione zeta che deve il suo nome al matematico tedesco Adolf Hurwitz. La funzione è definita attraverso la serie


Tratto da Wikipedia:

https://it.wikipedia.org/wiki/Categoria:Funzioni_speciali

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