Funzione elettronica – Wikipedia

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In matematica, E-funzioni sono un tipo di serie di potenze che soddisfano particolari condizioni aritmetiche sui coefficienti. Sono di interesse teoria dei numeri trascendentalie sono più speciali di Funzioni G.

Definizione[edit]

Una funzione f(X) è chiamato di genere eo un e-funzione,[1] se la serie di potenze

soddisfa le seguenti tre condizioni:

dove il lato sinistro rappresenta il massimo dei valori assoluti di tutti i coniugati algebrici di cn;

  • Per tutti ε > 0 esiste una sequenza di numeri naturali q0, q1, q2,… tale che qncK è un intero algebrico in K per K=0, 1, 2,…, ne n = 0, 1, 2,… e per cui

La seconda condizione implica che f è un intera funzione di X.

e-le funzioni sono state studiate per la prima volta da Siegel nel 1929.[2] Ha trovato un metodo per dimostrare che i valori presi da certi e-le funzioni erano algebricamente indipendente. Questo è stato un risultato che ha stabilito l’indipendenza algebrica delle classi di numeri piuttosto che la semplice indipendenza lineare.[3] Da allora queste funzioni si sono rivelate alquanto utili in teoria dei numeri ed in particolare hanno applicazione in trascendenza prove e equazioni differenziali.[4]

Il teorema di Siegel-Shidlovsky[edit]

Forse il principale risultato collegato e-funzioni è il teorema di Siegel-Shidlovsky (noto anche come teorema di Siegel e Shidlovsky), dal nome Carl Ludwig Siegel e Andrei Borisovich Shidlovsky.

Supponiamo che ci sia dato n e-funzioni, e1(X),…,en(X)che soddisfano un sistema di equazioni differenziali lineari omogenee

dove la fij sono funzioni razionali di Xe i coefficienti di ciascuno e e f sono elementi di un campo numerico algebrico K. Allora il teorema afferma che se e1(X),…,en(X) sono algebricamente indipendenti K(X)quindi per qualsiasi numero algebrico diverso da zero α quello non è un polo di nessuno dei fij i numeri e1(a),…,en(α) sono algebricamente indipendenti.

Esempi[edit]

  1. Qualsiasi polinomio con coefficienti algebrici è un semplice esempio di an e-funzione.
  2. Il funzione esponenziale è un e-funzione, nel suo caso cn=1 per tutto il n.
  3. Se λ è un numero algebrico allora il Funzione di Bessel Jλ è un e-funzione.
  4. La somma o il prodotto di due e-funzioni è un e-funzione. In particolare e-funzioni formano a squillo.
  5. Se un è un numero algebrico e f(X) è un e-funzione quindi f(ascia) sarà un e-funzione.
  6. Se f(X) è un e-funzione quindi derivata e integrale di f sono anche e-funzioni.

Riferimenti[edit]

  1. ^ Carl Ludwig Siegel, Numeri trascendentalip.33, Princeton University Press, 1949.
  2. ^ CL Siegel, Über einige Anwendungen diophantischer approximationen, Abh. Preuss. Akad. Wiss. 11929.
  3. ^ Alan Baker, Teoria dei numeri trascendentalipp.109-112, Cambridge University Press, 1975.
  4. ^ Serge Lang, Introduzione ai numeri trascendentalipp.76-77, Società editrice Addison-Wesley, 1966.


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