Ex falso quodlibet: cos’è, logica classica

Nella logica classica, nella logica intuizionista e in sistemi logici simili, il principio di esplosione (latino ex falso [sequitur] quodlibet, ‘dalla falsità, qualsiasi cosa [segue]’; o ex contraddizione [sequitur] quodlibet, ‘dalla contraddizione, qualsiasi cosa [segue ]’), o principio dello Pseudo-Scoto, è la legge secondo la quale ogni enunciato può essere provato da una contraddizioneCioè, una volta asserita una contraddizione, qualsiasi proposizione (comprese le loro negazioni) può essere inferita da essa;questo è noto come esplosione deduttiva.

La prova di questo principio fu data per la prima volta dal filosofo francese del XII secolo Guglielmo di SoissonsA causa del principio di esplosione, l’esistenza di una contraddizione (incoerenza) in un sistema assiomatico formale è disastrosa; poiché ogni affermazione può essere provata, banalizza i concetti di verità e falsità. Verso la fine del XX secolo, la scoperta di contraddizioni come il paradosso di Russell ai fondamenti della matematica minacciava così l’intera struttura della matematica. Matematici come Gottlob Frege, Ernst Zermelo , Abraham Fraenkel e Thoralf Skolemsi è impegnato molto nella revisione della teoria degli insiemi per eliminare queste contraddizioni, risultando nella moderna teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel.

A dimostrazione del principio, consideriamo due affermazioni contraddittorie – “Tutti i limoni sono gialli” e “Non tutti i limoni sono gialli” – e supponiamo che entrambe siano vere. Se questo è il caso, qualsiasi cosa può essere provata, ad esempio, l’affermazione che “gli unicorni esistono”, usando il seguente argomento:

  1. Sappiamo che “Non tutti i limoni sono gialli”, come si è ipotizzato fosse vero.
  2. Sappiamo che “Tutti i limoni sono gialli”, come si presume sia vero.
  3. Pertanto, anche l’affermazione in due parti “Tutti i limoni sono gialli o esistono gli unicorni” deve essere vera, poiché la prima parte “Tutti i limoni sono gialli” dell’affermazione in due parti è vera (come è stato ipotizzato).
  4. Tuttavia, poiché sappiamo che “Non tutti i limoni sono gialli” (come è stato ipotizzato), la prima parte è falsa, e quindi la seconda parte deve essere vera per garantire che l’affermazione in due parti sia vera, cioè che gli unicorni esistano.

In una diversa soluzione a questi problemi, alcuni matematici hanno escogitato teorie logiche alternative chiamate logiche paraconsistenti , che eliminano il principio di esplosione. Questi consentono di provare alcune affermazioni contraddittorie senza intaccare altre prove.

Rappresentazione simbolica

Nella logica simbolica , il principio di esplosione può essere espresso schematicamente nel modo seguente:

{\displaystyle P,\lnon P\vdash Q} Per qualsiasi affermazione P e Q , se P e non- P sono entrambe vere, ne consegue logicamente che Q è vera.

Prova

Di seguito è riportata una dimostrazione formale del principio utilizzando la logica simbolica .

Fare un passo Proposizione Derivazione
1 {\displaystyle P} Assunzione
2 {\displaystyle \neg P} Assunzione
3 {\displaystyle P\lor Q} Introduzione alla disgiunzione (1)
4 {\displaystyle D} Sillogismo disgiuntivo (3,2)

Questa è solo la versione simbolica dell’argomentazione informale fornita nell’introduzione, con{\displaystyle P}in piedi per “tutti i limoni sono gialli” e{\displaystyle D}sta per “Gli unicorni esistono”. Iniziamo assumendo che (1) tutti i limoni sono gialli e che (2) non tutti i limoni sono gialli. Dalla proposizione che tutti i limoni sono gialli, deduciamo che (3) o tutti i limoni sono gialli oppure esistono gli unicorni. Ma poi da questo e dal fatto che non tutti i limoni sono gialli, deduciamo che (4) gli unicorni esistono per sillogismo disgiuntivo.

Argomento semantico

Un argomento alternativo per il principio deriva dalla teoria dei modelli . Una frase{\displaystyle P}è una conseguenza semantica di un insieme di frasi{\ Displaystyle \ gamma}solo se ogni modello di{\ Displaystyle \ gamma}è un modello di{\displaystyle P}. Tuttavia, non esiste un modello dell’insieme contraddittorio{\ displaystyle (P \ cuneo \ lnot P)}A fortiori , non esiste un modello di{\ displaystyle (P \ cuneo \ lnot P)}che non è un modello di{\displaystyle D}. Così, vacuamente, ogni modello di{\ displaystyle (P \ cuneo \ lnot P)}è un modello di{\displaystyle D}. così{\displaystyle D}è una conseguenza semantica di{\ displaystyle (P \ cuneo \ lnot P)}.

Logica paraconsistente

Sono state sviluppate logiche paraconsistenti che consentono operatori di formazione subcontraria . I logici paraconsistenti teorici del modello spesso negano l’ipotesi che non ci possa essere alcun modello di{\ Displaystyle \ {\ phi, \ lnot \ phi \}}e concepire sistemi semantici in cui esistono tali modelli. In alternativa, rifiutano l’idea che le proposizioni possano essere classificate come vere o false. Le logiche paraconsistenti di teoria della dimostrazione di solito negano la validità di uno dei passaggi necessari per derivare un’esplosione, tipicamente includendo il sillogismo disgiuntivo , l’ introduzione di disgiunzione e la reductio ad absurdum .

Utilizzo

Il valore metamatematico del principio di esplosione è che per qualsiasi sistema logico in cui vale questo principio, qualsiasi teoria derivata che dimostra  (o una forma equivalente,{\ displaystyle \ phi \ terra \ lnot \ phi}) è inutile perché tutte le sue affermazioni diventerebbero teoremi , rendendo impossibile distinguere il vero dal falso. Vale a dire, il principio di esplosione è un argomento per la legge di non contraddizione nella logica classica, perché senza di essa tutte le affermazioni di verità diventano prive di significato.

La riduzione della forza della prova delle logiche senza ex falso è discussa in logica minimale .


https://en.wikipedia.org/wiki/Principle_of_explosion

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