Spazio di configurazione Cayley

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In matematica , lo spazio di configurazione di Cayley di un collegamento su un insieme dei suoi non-archi {\ displaystyle F}, detti parametri Cayley, è l’insieme delle distanze raggiunte da{\ displaystyle F}su tutti i suoi framework , sotto alcuni {\displaystyle l_{p}}
-norm . In altre parole, ogni struttura del collegamento prescrive un insieme unico di distanze ai non bordi di{\ displaystyle G}, quindi l’insieme di tutte le strutture può essere descritto dall’insieme delle distanze raggiunte da qualsiasi sottoinsieme di questi non bordi. Si noti che questa descrizione potrebbe non essere una biiezione . La motivazione per l’utilizzo dei parametri di distanza è definire una copertura ramificata quadratica continua dallo spazio di configurazione di un collegamento a uno spazio più semplice, spesso convesso. Quindi, ottenere una struttura da uno spazio di configurazione di Cayley di un collegamento su un insieme di non archi è spesso una questione di risoluzione di equazioni quadratiche.

Gli spazi di configurazione di Cayley hanno una stretta relazione con l’ appiattibilità e la rigidità combinatoria dei grafici.

Definizioni

Spazio di configurazione di Cayley

Definizione tramite collegamenti. Considera un collegamento{\ displaystyle (G, \ delta )}, con grafico{\ displaystyle G}e{\displaystyle l_{p}^{p}}-vettore di lunghezza del bordo{\ displaystyle \ delta}(cioè,{\displaystyle l_{p}}-distanze elevate al{\displaystyle p^{esimo}}potere, per alcuni{\displaystyle l_{p}}-norma) e un insieme di non bordi{\ displaystyle F}di{\ displaystyle G}. Lo spazio di configurazione Cayley di{\ displaystyle (G, \ delta )}terminato{\ displaystyle F}in{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}sotto per alcuni{\displaystyle l_{p}}-norma, indicata da{\displaystyle \Phi _{F,l_{p}}^{d}(G,\delta _{G})}, è l’insieme di{\displaystyle l_{p}^{p}}– vettori di distanza{\displaystyle \delta _{F}}raggiunto dai non bordi{\ displaystyle F}su tutti i quadri di{\ displaystyle (G, \ delta )}in{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}. In presenza di disuguaglianza{\displaystyle l_{p}^{p}}– vincoli di distanza , cioè un intervallo{\displaystyle [\delta _{l},\delta _{r}]}, lo spazio di configurazione Cayley{\displaystyle \Phi _{F,l_{p}}^{d}\left(G,[\delta _{G}^{l},\delta _{G}^{r}]\right)}è definito in modo analogo. In altre parole,{\displaystyle \Phi _{F,l_{p}}^{d}(G,\delta _{G})}è la proiezione dell’insieme semialgebrico di Cayley-Menger , con fixed{\ displaystyle (G, \ delta )}o{\displaystyle \left(G,[\delta _{G}^{l},\delta _{G}^{r}]\right)}, sui non bordi{\ displaystyle F}, chiamati parametri Cayley.

Definizione tramite proiezioni del cono di distanza. Considera il cono{\displaystyle \Phi _{n,l_{p}}}di vettori di pairwise{\displaystyle l_{p}^{p}}-distanze tra{\ displaystyle n}punti. Considera anche il{\ displaystyle d}-strato di questo cono{\displaystyle \Phi _{n,l_{p}}^{d}}, cioè il sottoinsieme di vettori di{\displaystyle l_{p}^{p}}-distanze tra{\ displaystyle n}punti dentro{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}. Per qualsiasi grafico{\ displaystyle G}, considera la proiezione {\displaystyle \Phi _{G,l_{p}}^{d}}di{\displaystyle \Phi _{n,l_{p}}^{d}}sui bordi di{\ displaystyle G}, cioè l’insieme di tutti i vettori{\displaystyle \delta _{G}}di{\displaystyle l_{p}^{p}}-distanze per le quali il collegamento{\displaystyle (G,\delta _{G})}ha una struttura in{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}. Avanti, per qualsiasi punto{\displaystyle \delta _{G}}in{\displaystyle \Phi _{G,l_{p}}^{d}}e qualsiasi insieme di non bordi{\ displaystyle F}di{\ displaystyle G}, considera la fibra di{\displaystyle \delta _{G}}in{\displaystyle \Phi _{n,l_{p}}^{d}}lungo le coordinate di{\ displaystyle F}, cioè l’insieme dei vettori{\displaystyle \delta _{G\coppa F}}di{\displaystyle l_{p}^{p}}-distanze per le quali il collegamento{\ displaystyle (SOL \ coppa FA, \ delta _ {SOL \ coppa FA})}ha una struttura in{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}.

Lo spazio di configurazione Cayley{\displaystyle \Phi _{F,l_{p}}^{d}(G,\delta _{G})}è la proiezione di questa fibra sull’insieme dei non bordi{\ displaystyle F}, cioè l’insieme di{\displaystyle l_{p}^{p}}-le distanze raggiunte dai non bordi in{\ displaystyle F}su tutti i quadri di{\displaystyle (G,\delta _{G})}in{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}In presenza di disuguaglianza{\displaystyle l_{p}^{p}}– vincoli di distanza , cioè un intervallo{\displaystyle [\delta _{l,G},\delta _{r,G}]}, lo spazio di configurazione Cayley{\displaystyle \Phi _{F,l_{p}}^{d}(G,[\delta _{l,G},\delta _{r,G}])}è la proiezione di un insieme di fibre sull’insieme di non bordi{\ displaystyle F}.

Definizione tramite coperture ramificate. Uno spazio di configurazione Cayley di un collegamento in{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}è lo spazio di base di una copertura ramificata il cui spazio totale è lo spazio di configurazione del collegamento in{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}.

Spazio di configurazione Cayley orientato

Per un grafo scomponibile ad albero -dof {\ displaystyle 1}
{\ displaystyle G}con base non bordo {\ displaystyle f}, ogni punto di una struttura di un collegamento{\ displaystyle (G, \ delta )}in{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}sotto il{\displaystyle l_{2}}-norm può essere posizionato in modo iterativo secondo un vettore di orientamento {\ displaystyle \ sigma}, chiamato anche tipo di realizzazione. Le voci di{\ displaystyle \ sigma}sono orientamenti locali di triple di punti per tutte le fasi di costruzione della struttura. UN{\ displaystyle \ sigma}-orientato spazio di configurazione Cayley di{\ displaystyle (G, \ delta )}terminato{\ displaystyle f}, denotato da{\ displaystyle \ Phi _ {f, \ sigma } ^ {2} (G, \ delta )}è lo spazio di configurazione di Cayley di{\ displaystyle (G, \ delta )}terminato{\ displaystyle f}limitato a quadri che rispettano{\ displaystyle \ sigma}In altre parole, per qualsiasi valore di{\ displaystyle f}in{\ displaystyle \ Phi _ {f, \ sigma } ^ {2} (G, \ delta )}, corrispondente di quadri di{\ displaystyle (G, \ delta )}rispetto{\ displaystyle \ sigma}e sono un sottoinsieme dei framework in{\displaystyle \Phi _{f}^{2}(G,\delta)}.

Vettore Cayley completo minimo

Per un grafo scomponibile ad albero -dof {\ displaystyle 1}
{\ displaystyle G = (V, E)}con una bassa complessità di Cayley su una base non bordo {\ displaystyle f}, un vettore Cayley minimo{\ displaystyle F}è un elenco di{\ displaystyle O(|V|)}non bordi di{\ displaystyle G}tale che il grafico{\ displaystyle G \ coppa F}è genericamente globalmente rigido .

Proprietà

Proprietà a intervallo singolo.

Un paio{\ displaystyle (G, f)}, costituito da un grafico{\ displaystyle G}e un non bordo{\ displaystyle f}, ha la proprietà intervallo singolo in{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}sotto alcuni{\displaystyle l_{p}}-norma se, per ogni collegamento{\ displaystyle (G, \ delta )}, lo spazio di configurazione Cayley{\displaystyle \Phi _{f,l_{p}}^{d}(G,\delta)}è un singolo intervallo.

Convessità intrinseca

Un grafico{\ displaystyle G}ha uno spazio di configurazione Cayley convesso intrinseco in{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}sotto alcuni{\displaystyle l_{p}}norma se, per ogni partizione dei bordi di{\ displaystyle G}in{\ displaystyle H}e{\ displaystyle F}e ogni collegamento{\ displaystyle (H, \ delta )}, lo spazio di configurazione Cayley{\displaystyle \Phi _{F,l_{p}}^{d}(H,\delta)}è convesso.

Genericità rispetto alla convessità

Permettere{\ displaystyle G = (V, E)}essere un grafico e{\ displaystyle F}essere un insieme non vuoto di non bordi di{\ displaystyle G}. Lascia anche{\ displaystyle r}essere un quadro in{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}di qualsiasi collegamento il cui grafico di vincolo sia{\ displaystyle G}e considera il suo corrispondente{\displaystyle l_{p}^{p}}-vettore di lunghezza del bordo{\displaystyle \delta _{r}}nel cono{\displaystyle \Phi _{n,l_{p}}}, dove{\displaystyle n=|V|}. Come definito nel quadro{\ displaystyle r}è generico rispetto alla proprietà degli spazi di configurazione Cayley convessi se

  • C’è un quartiere aperto{\ displaystyle \ Omega}di{\displaystyle \delta _{r}}nel{\ displaystyle d}-strato{\displaystyle \Phi _{n,l_{p}}^{d}}(corrispondente a un quartiere intorno{\ displaystyle r}di quadri in{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}); e
  • {\displaystyle \Phi _{F,l_{p}}^{d}(G,\delta _{r})}è convesso se e solo se, per tutti{\ displaystyle \ delta _ {q} \ in \ Omega},{\displaystyle \Phi _{F,l_{p}}^{d}(G,\delta _{q})}è convesso.

Teorema. Ogni quadro generico di un grafo{\ displaystyle G}in{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}ha uno spazio di configurazione Cayley convesso su una serie di non bordi{\ displaystyle F}se e solo se ogni collegamento{\ displaystyle (G, \ delta )}fa.

Figura 1. Un grafico{\ displaystyle G}con un non bordo{\ displaystyle f}. Esistono due framework in{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}sotto il{\displaystyle l_{2}}-norme che sono generiche rispetto agli spazi convessi di configurazione di Cayley oltre{\ displaystyle f}tale che le distanze raggiunte da{\ displaystyle f}formano un unico intervallo per un framework ma non per l’altro.

Teorema. La convessità degli spazi di configurazione di Cayley non è una proprietà generica dei framework.

Prova. Considera il grafico nella Figura 1. Considera anche il framework{\ displaystyle p}in{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}di cui a coppie{\displaystyle l_{2}}-distanza vettore{\displaystyle \delta _{p}}assegna la distanza{\ displaystyle 3}ai bordi senza etichetta,{\ displaystyle 4}a{\ displaystyle x}, e{\ displaystyle 1}a{\ displaystyle y}e il{\ displaystyle 2}-struttura dimensionale{\ displaystyle q}di cui a coppie{\displaystyle l_{2}}-distanza vettore{\displaystyle \delta _{q}}assegna la distanza{\ displaystyle 3}ai bordi senza etichetta,{\ displaystyle 4}a{\ displaystyle x}, e{\ displaystyle 4}a{\ displaystyle y}. Lo spazio di configurazione Cayley{\displaystyle \Phi _{f}^{2}(G,\delta _{p})}è{\ displaystyle 2}intervalli: un intervallo rappresenta i framework con vertice{\ displaystyle B}sul lato destro della linea definita dai vertici{\ displaystyle C}e{\ displaystyle D}e l’altro intervallo rappresenta i framework con vertice{\ displaystyle B}sul lato sinistro di questa linea. Gli intervalli sono disgiunti a causa delle disuguaglianze triangolari indotte dalle distanze assegnate ai bordi{\ displaystyle x}e{\ displaystyle y}. Inoltre,{\ displaystyle p}è un framework generico rispetto agli spazi di configurazione Cayley convessi{\ displaystyle f}in{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}: c’è un quartiere di framework intorno{\ displaystyle p}la cui configurazione Cayley spazia{\displaystyle \Phi _{f}^{2}(G,\delta)}sono{\ displaystyle 2}intervalli.

D’altra parte, lo spazio di configurazione Cayley{\displaystyle \Phi _{f}^{2}(G,\delta _{q})}è un unico intervallo: le disuguaglianze triangolari indotte dal quadrilatero che le contiene{\ displaystyle f}definire un unico intervallo che sia contenuto nell’intervallo definito dalle disuguaglianze triangolari indotte dalle distanze assegnate ai bordi{\ displaystyle x}e{\ displaystyle y}. Inoltre,{\ displaystyle q}è un framework generico rispetto agli spazi di configurazione Cayley convessi{\ displaystyle f}in{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}: c’è un quartiere di framework intorno{\ displaystyle q}la cui configurazione Cayley spazia oltre{\ displaystyle f}in{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}sono un unico intervallo. Pertanto, un framework generico ha uno spazio di configurazione Cayley convesso mentre un altro no.

Completezza generica

Uno spazio di configurazione Cayley genericamente completo o semplicemente completo è una configurazione Cayley di un collegamento{\ displaystyle (G, \ delta )}su un insieme di non bordi{\ displaystyle F}in modo tale che ogni punto in questo spazio corrisponda genericamente a un numero finito di strutture di{\ displaystyle (G, \ delta )}e lo spazio ha misura piena . In modo equivalente, il grafico{\ displaystyle G \ coppa F}è genericamente minimamente rigido .

Risultati per la norma euclidea

Questa sezione fornisce risultati sugli spazi di configurazione Cayley dei collegamenti su non bordi sotto il{\displaystyle l_{2}}-norma, detta anche norma euclidea .

Teoremi di intervallo singolo

Figura 2. I grafici ei loro non bordi{\ displaystyle f}ognuno ha la proprietà di intervallo singolo in{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}. Entrambi i grafici con{\ displaystyle f}aggiunti come bordo sono il loro minimo{\ displaystyle 2}-sum componenti che contengono{\ displaystyle f}, ma nessuno dei due lo è{\ displaystyle 3}-appiattibile.

Permettere{\ displaystyle G}essere un grafico. Considera una scomposizione -sum di {\ displaystyle 2}
{\ displaystyle G}, cioè decomponendosi ricorsivamente{\ displaystyle G}nel suo{\ displaystyle 2}-somma componenti. Gli elementi minimi di questa scomposizione sono chiamati il ​​minimo{\ displaystyle 2}-somma componenti di{\ displaystyle G}.

Teorema. Per{\ displaystyle d \ leq 2}, il paio{\ displaystyle (G, f)}, costituito da un grafico{\ displaystyle G}e un non bordo{\ displaystyle f}, ha la proprietà intervallo singolo in{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}se e solo se tutto minimo{\ displaystyle 2}-somma componenti di{\ displaystyle G \ tazza f}che contengono{\ displaystyle f}sono parziali
{\ displaystyle 2}
-alberi .

Quest’ultima condizione equivale a richiedere che tutto sia minimo{\ displaystyle 2}-somma componenti di{\ displaystyle G \ tazza f}che contengono{\ displaystyle f}sono {\ displaystyle 2}
-flattenable , come parziale{\ displaystyle 2}-trees sono esattamente la classe di{\ displaystyle 2}-grafici appiattibili (vedi risultati su
{\ displaystyle 2}
-appiattibilità ). Questo risultato non si generalizza per le dimensioni{\ displaystyle d \ geq 3}minori proibiti per{\ displaystyle 3}-appiattibilità sono il grafico completo{\displaystyle K_{5}}e lo scheletro dell’ottaedro {\ displaystyle 1}
{\displaystyle K_{2,2,2}}(vedi risultati su
{\ displaystyle 3}
-appiattibilità ). La figura 2 mostra controesempi per{\displaystyle d=3}. Indica il grafico a sinistra con{\ displaystyle G}e il grafico a destra di{\ displaystyle H}. Entrambe le coppie{\ displaystyle (G, f)}e{\ displaystyle (H, f)}avere la proprietà intervallo singolo in{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}: i vertici di{\ displaystyle f}può ruotare{\ displaystyle 3}-dimensioni attorno ad un piano. Inoltre, entrambi{\ displaystyle G \ tazza f}e{\ displaystyle H \ tazza f}sono essi stessi minimi{\ displaystyle 2}-somma componenti contenenti{\ displaystyle f}. Tuttavia, nessuno dei due{\ displaystyle G \ tazza f}{\ displaystyle H \ tazza f}è{\ displaystyle 3}-appiattibile: contraente{\ displaystyle f}in{\ displaystyle G \ tazza f}rendimenti{\displaystyle K_{5}}e contrattare{\ displaystyle f}in{\ displaystyle H \ tazza f}rendimenti{\displaystyle K_{2,2,2}}.

Figura 3. Il grafico{\ displaystyle G}mostrato a sinistra. Per il collegamento{\ displaystyle \ delta}che assegna la distanza{\ displaystyle 1}ai bordi di{\ displaystyle G}, lo spazio di configurazione Cayley{\displaystyle \Phi _{d_{1}\cup d_{2},l_{2}}^{2}(G,\delta)}è mostrato a destra.

Esempio. Considera il grafico{\ displaystyle G}nella Figura 3 i cui non bordi sono{\displaystyle d_{1}}e{\displaystyle d_{2}}. Il grafo{\ displaystyle G}è suo e solo minimo{\ displaystyle 2}-sum componente contenente uno dei non-edge. Inoltre, il grafico{\displaystyle G\tazza d_{1}\tazza d_{2}}è un{\ displaystyle 2}-albero, quindi{\ displaystyle G}è un parziale{\ displaystyle 2}-albero. Quindi, per il teorema sopra entrambe le coppie{\displaystyle (G,d_{1})}e{\displaystyle (G,d_{2})}avere la proprietà intervallo singolo in{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}.

La seguente congettura caratterizza le coppie{\ displaystyle (G, f)}con la proprietà intervallo singolo in{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}per arbitrario{\ displaystyle d}.

Congetturare. Il paio{\ displaystyle (G, f)}, costituito da un grafico{\ displaystyle G}e un non bordo{\ displaystyle f}, ha la proprietà intervallo singolo in{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}se e solo se per qualche minimo{\ displaystyle 2}-somma componente di{\ displaystyle G \ tazza f}quello contiene{\ displaystyle f}e non lo è{\ displaystyle d}-appiattibile,{\ displaystyle f}deve essere rimosso, duplicato o contratto per ottenere un minore vietato{\ displaystyle d}-appiattibilità da{\ displaystyle G}.

1 -dof collegamenti ad albero scomponibili in{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}

I seguenti risultati riguardano spazi di configurazione Cayley orientati di collegamenti scomponibili ad albero di 1 gdl su una base non bordo in{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}. Fare riferimento ai grafici scomponibili ad albero per la definizione dei collegamenti generici utilizzati di seguito.

Teorema. Per un collegamento generico scomponibile ad albero a 1 gdl{\ displaystyle (G, \ delta )}con base non bordo{\ displaystyle f}la seguente attesa:

  • Uno spazio di configurazione Cayley orientato{\ displaystyle \ Phi _ {f, \ sigma } ^ {2} (G, \ delta )}è un insieme di intervalli reali chiusi disgiunti o vuoti;
  • Qualsiasi punto finale di questi intervalli chiusi corrisponde alla lunghezza di{\ displaystyle f}in un quadro di legame estremo ; e
  • Per qualsiasi vertice{\ displaystyle v}o qualsiasi non bordo{\ displaystyle g}di{\ displaystyle G}, le mappe da{\ displaystyle \ Phi _ {f, \ sigma } ^ {2} (G, \ delta )}alle coordinate di{\ displaystyle v}o la lunghezza di{\ displaystyle g}nei quadri di{\ displaystyle (G, \ delta )}sono funzioni continue su ciascuno di questi intervalli chiusi.

Questo teorema produce un algoritmo per calcolare gli spazi di configurazione (orientati) di Cayley di collegamenti scomponibili ad albero di 1 dof su una base non-edge semplicemente costruendo framework orientati di tutti i collegamenti estremi, vedere costruzione di un framework scomponibile ad albero . Questo algoritmo può richiedere tempo esponenziale nella dimensione del collegamento e nello spazio di configurazione di Cayley di output. Per un grafo scomponibile ad albero di 1 gdl{\ displaystyle G}, tre misure di complessità dei suoi spazi di configurazione Cayley orientati sono:

  • Dimensione Cayley: il numero massimo di intervalli reali chiusi disgiunti nello spazio di configurazione Cayley su tutti i collegamenti{\ displaystyle (G, \ delta )};
  • Complessità computazionale di Cayley: la massima complessità temporale per ottenere questi intervalli su tutti i collegamenti{\ displaystyle (G, \ delta )}; e
  • Complessità algebrica di Cayley: la massima complessità algebrica di descrivere ciascun punto finale di questi intervalli su tutti i collegamenti{\ displaystyle (G, \ delta )}.

Vengono forniti i limiti di queste misure di complessità. Vedere i risultati sui grafici scomponibili ad albero . Un altro algoritmo per calcolare questi spazi di configurazione di Cayley orientati raggiunge la complessità lineare di Cayley nella dimensione del grafo sottostante.

Teorema. Per un collegamento generico scomponibile ad albero a 1 gdl {\ displaystyle (G, \ delta )}, dove il grafico{\ displaystyle G}ha una bassa complessità di Cayley su una base non-edge{\ displaystyle f}, la seguente attesa:

  • Esistono al massimo due percorsi di movimento continuo tra due strutture di{\ displaystyle (G, \ delta )},
    • e la complessità temporale per trovare un tale percorso, se esiste, è lineare nel numero di punti finali dell’intervallo dello spazio di configurazione di Cayley orientato su{\ displaystyle f}che il percorso contiene; e
  • Esiste un algoritmo che genera l’intero insieme di componenti connessi dello spazio di configurazione dei framework di{\ displaystyle (G, \ delta )},
    • e la complessità temporale della generazione di ciascuna di queste componenti è lineare nel numero di punti finali dell’intervallo dello spazio di configurazione di Cayley orientato{\ displaystyle f}che il componente contiene.

Viene fornito un algoritmo per trovare questi percorsi di movimento. L’idea è di iniziare da un framework situato in un intervallo dello spazio di configurazione di Cayley, viaggiare lungo l’intervallo fino al suo punto finale e saltare a un altro intervallo, ripetendo questi ultimi due passaggi fino a raggiungere il framework di destinazione. Questo algoritmo utilizza i seguenti fatti: (i) esiste un percorso di movimento continuo tra due strutture qualsiasi nello stesso intervallo, (ii) esistono collegamenti estremi solo ai punti finali di un intervallo e (iii) durante il movimento, il basso Cayley il collegamento di complessità cambia solo il suo tipo di realizzazione quando si salta a un nuovo intervallo e esattamente un orientamento locale cambia segno durante questo salto.

Figura 4. Tre framework orientati, con base non edge{\displaystyle (v_{0},v’_{0})}, lungo un percorso di movimento continuo. Gli ultimi due quadri stanno per cambiare orientamento.

Esempio. La figura 4 mostra un quadro orientato di un collegamento scomponibile ad albero di 1 gdl con base non bordo{\displaystyle (v_{0},v’_{0})}, che si trova in un intervallo dello spazio di configurazione di Cayley, e altre due strutture i cui orientamenti stanno per cambiare. I vertici corrispondenti alle fasi di costruzione sono etichettati in ordine di costruzione. Più precisamente, il primo framework ha il tipo di realizzazione{\ displaystyle (1,-1,-1,1)}. C’è un percorso di movimento continuo verso il secondo framework, che ha il tipo di realizzazione{\ displaystyle (0,-1,-1,1)}. Quindi, questo framework corrisponde a un punto finale di intervallo e il salto a un nuovo intervallo risulta nel tipo di realizzazione{\ displaystyle (-1,-1,-1,1)}. Allo stesso modo, il terzo framework corrisponde a un endpoint di intervallo con il tipo di realizzazione{\ displaystyle (-1,-1,0,1)}e saltare a un nuovo intervallo risulta nel tipo di realizzazione{\ displaystyle (-1,-1,1,1)}.

Teorema. (1) Per un collegamento generico {\ displaystyle 1}
-path , 1-dof tree-scomponibile{\ displaystyle (G, \ delta )}con una bassa complessità di Cayley, esiste una corrispondenza biunivoca tra l’insieme delle strutture di{\ displaystyle (G, \ delta )}e punti su a{\ displaystyle 2}curva dimensionale, i cui punti sono i vettori di distanza di Cayley completi minimi . (2) Per un collegamento generico scomponibile ad albero di 1 dof{\ displaystyle (G, \ delta )}con una bassa complessità di Cayley, esiste una corrispondenza biunivoca tra l’insieme delle strutture di{\ displaystyle (G, \ delta )}e punti su un{\ displaystyle n}-curva dimensionale, i cui punti sono i vettori di distanza di Cayley completi minimi, dove{\ displaystyle n}è il numero di vertici dell’ultimo livello del grafico{\ displaystyle G}.

Risultati per le norme p generali

Questa sezione copre i risultati che possono essere estesi al generale{\displaystyle l_{p}}-norme.

Teorema. Per il generale{\displaystyle l_{p}}-norme, un grafico{\ displaystyle G}ha uno spazio di configurazione Cayley convesso intrinseco in{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}se e solo se{\ displaystyle G}è{\ displaystyle d}-appiattibile.

La direzione “solo se” è stata dimostrata utilizzando il fatto che il{\displaystyle l_{2}^{2}}cono di distanza{\displaystyle \Phi _{n,l_{2}}}è convesso. Come diretta conseguenza,{\ displaystyle d}-grafici e grafici appiattibili con spazi di configurazione Cayley convessi intrinseci in{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}hanno la stessa caratterizzazione minore proibita. Vedere Graph Flattenability per i risultati su queste caratterizzazioni, nonché una discussione più dettagliata sulla connessione tra gli spazi di configurazione di Cayley e l’appiattibilità.

Esempio. Si consideri il grafico in Figura 3 con entrambi i non spigoli aggiunti come spigoli. Il grafico risultante è a{\ displaystyle 2}-albero, che è{\ displaystyle 2}-appiattibile sotto il{\displaystyle l_{1}}e{\displaystyle l_{2}}norme, vedere appiattibilità del grafico . Quindi, il teorema sopra indica che il grafo ha uno spazio di configurazione di Cayley convesso intrinseco in{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}sotto il{\displaystyle l_{1}}e{\displaystyle l_{2}}norme. In particolare, la configurazione Cayley spazia su uno o entrambi i non bordi{\displaystyle d_{1}}e{\displaystyle d_{2}}è convesso.

Applicazioni

L’algoritmo EASAL utilizza le tecniche sviluppate per trattare gli spazi di configurazione di Cayley convessi per descrivere la struttura dimensionale, topologica e geometrica degli spazi di configurazione euclidea in{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}. Più precisamente, per due set di{\ displaystyle n}punti{\ displaystyle A}e{\ displaystyle B}in{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}con vincoli di distanza di intervallo tra coppie di punti provenienti da insiemi diversi, EASAL genera tutte le strutture di questo collegamento in modo tale che nessuna coppia di punti vincolati sia troppo vicina e almeno una coppia di punti vincolati sia sufficientemente vicina. Questo algoritmo ha applicazioni nell’autoassemblaggio molecolare .


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