analisi p-adica – Wikipedia

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Gli interi 3-adic, con i caratteri corrispondenti selezionati sul loro Pontryagin doppio gruppo

In matematica, p-analisi adica è un ramo di teoria dei numeri che si occupa del analisi matematica di funzioni di p-numeri adici.

La teoria delle funzioni numeriche a valori complessi sul p-i numeri adici fa parte della teoria di gruppi localmente compatti. Il solito significato preso per p-l’analisi adica è la teoria di p-funzioni adiche sugli spazi di interesse.

Applicazioni di p– analisi adic sono state principalmente in teoria dei numeridove ha un ruolo significativo geometria diofantea e approssimazione diofantea. Alcune applicazioni hanno richiesto lo sviluppo di p-adico analisi funzionale e teoria spettrale. In molti modi p-l’analisi adica è meno sottile di analisi classicapoiché il disuguaglianza ultrametrica significa, ad esempio, quella convergenza di serie infinita di p-numeri adici è molto più semplice. Spazi vettoriali topologici terminato p-i campi adici presentano caratteristiche distintive; ad esempio aspetti relativi a convessità e il Teorema di Hahn-Banach sono diversi.

Risultati importanti[edit]

Il teorema di Ostrowski[edit]

Il teorema di Ostrowski, a causa di Alexander Ostrowski (1916), afferma che ogni non banale valore assoluto sul numeri razionali Q è equivalente al solito valore assoluto reale o a p-adico valore assoluto.[1]

Il teorema di Mahler[edit]

Il teorema di Mahlerpresentato da Kurt Mahler,[2] esprime continuo p-funzioni adiche in termini di polinomi.

In qualsiasi campo di caratteristica 0, si ha il seguente risultato. Permettere

essere l’attaccante operatore di differenza. Allora per funzioni polinomiali f abbiamo il serie Newton:

dove

è il Kesimo polinomio a coefficiente binomiale.

Nel campo dei numeri reali, l’ipotesi che la funzione f è un polinomio può essere indebolito, ma non può essere indebolito fino in fondo continuità.

Mahler ha dimostrato il seguente risultato:

Il teorema di Mahler: Se f è un continuo p-adico-funzione a valore sul p-adic interi allora vale la stessa identità.

Il lemma di Hensel[edit]

Il lemma di Hensel, noto anche come lemma del sollevamento di Hensel, dal nome Kurt Henselè un risultato in aritmetica modulareaffermando che se a equazione polinomiale ha un radice semplice modulo a numero primo pallora questa radice corrisponde a una radice unica della stessa equazione modulo qualsiasi potenza superiore di pche può essere trovato iterativamente “sollevamento” la soluzione modulo potenze successive di p. Più in generale è usato come nome generico per analoghi per completare anelli commutativi (Compreso p-campi adici in particolare) del Metodo Newton per risolvere le equazioni. Da p-l’analisi adica è in qualche modo più semplice di analisi realeci sono criteri relativamente facili che garantiscono una radice di un polinomio.

Per dichiarare il risultato, poniamo




f
(
X
)


{\ displaystyle f (x)}

essere un polinomio insieme a numero intero (o p-adico intero) coefficienti, e sia m,K essere numeri interi positivi tali che mK. Se r è un intero tale che

allora esiste un numero intero S tale che

Inoltre, questo S è modulo unico pK+me può essere calcolato esplicitamente come

Applicazioni[edit]

Meccanica quantistica p-adica[edit]

Meccanica quantistica p-adica è un approccio relativamente recente alla comprensione della natura della fisica fondamentale. È l’applicazione dell’analisi p-adica a meccanica quantistica. Il numeri p-adici sono un sistema aritmetico intuitivo (ma geometricamente controintuitivo) scoperto dal matematico tedesco Kurt Hensel nel 1899 circa e dal matematico tedesco Ernst Kummer(1810-1893) in precedenza in forma elementare. Lo stretto parente adele e idele furono introdotti negli anni ’30 da Claude Chevalley e André Weil. Il loro studio si è ora trasformato in una branca importante della matematica. Occasionalmente sono stati applicati alle scienze fisiche, ma non è stato fino alla pubblicazione del matematico russo Volovich nel 1987 che l’argomento è stato preso sul serio nel mondo della fisica.[3] Ora ci sono centinaia di articoli di ricerca sull’argomento,[4][5] insieme a riviste internazionali.

Ci sono due approcci principali all’argomento.[6][7] Il primo considera le particelle in un pozzo di potenziale p-adico e l’obiettivo è trovare soluzioni con funzioni d’onda a valori complessi che variano uniformemente. Qui le soluzioni sono avere una certa familiarità con la vita ordinaria. Il secondo considera le particelle in pozzi di potenziale p-adico e l’obiettivo è trovare funzioni d’onda con valore p-adico. In questo caso, l’interpretazione fisica è più difficile. Eppure la matematica mostra spesso caratteristiche sorprendenti, quindi le persone continuano a esplorarla. La situazione è stata riassunta nel 2005 da uno scienziato come segue: “Semplicemente non posso pensare a tutto questo come a una sequenza di incidenti divertenti e liquidarlo come un ‘modello giocattolo’. Penso che sia necessario e utile lavorare di più su questo”.[8]

Principio locale-globale[edit]

Helmut HasseIl principio locale-globale, noto anche come principio di Hasse, è l’idea che si possa trovare un soluzione intera di un’equazione utilizzando il Teorema cinese del resto per mettere insieme soluzioni modulo poteri di ciascuno numero primo. Questo viene gestito esaminando l’equazione in completamenti del numeri razionali: il numeri reali e il p-numeri adici. Una versione più formale del principio di Hasse afferma che alcuni tipi di equazioni hanno una soluzione razionale se e solo se hanno una soluzione nel numeri reali e nel p-numeri adici per ogni primo p.

Guarda anche[edit]

Riferimenti[edit]

  1. ^ Koblitz, Neal (1984). Numeri p-adici, analisi p-adica e funzioni zeta (2a ed.). New York: Springer-Verlag. p. 3. ISBN 978-0-387-96017-3. Recuperato 24 agosto 2012. Teorema 1 (Ostrowski). Ogni norma non banale ‖ ‖ attiva
  2. ^ Mahler, K. (1958), “Una serie di interpolazione per funzioni continue di una variabile p-adica”, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 199: 23–34, ISSN 0075-4102, SIG 0095821
  3. ^ IVVolovich, La teoria dei numeri come teoria definitivaprestampa del CERN, CERN-TH.4791/87
  4. ^ VS Vladimirov, IV Volovich e EI Zelenov Analisi P-adica e Fisica Matematica(World Scientific, Singapore 1994)
  5. ^ L. Brekke e PGO Freund, Numeri p-adici in fisica, Ph. Rappresentante. 2331-66(1993)
  6. ^ Dragovich, Branko (2007). “Adele in fisica matematica”. arXiv:0707.3876.
  7. ^ Djordjevic, GS; Dragovich, B. (2000). “Oscillatore armonico P-Adic e adelico con frequenza dipendente dal tempo”. Fisica Teorica e Matematica. 124 (2): 3. arXiv:quant-ph/0005027. Bibcode:2000TMP…124.1059D. doi:10.1007/BF02551077. S2CID 14281188.
  8. ^ Freund, Peter GO (2006). “Stringhe P-Adic e loro applicazioni”. Atti del Convegno AIP. vol. 826. pp. 65–73. arXiv:hep-th/0510192. doi:10.1063/1.2193111. S2CID 119086848.

Ulteriori letture[edit]


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