Analisi di Fourier: nota anche come analisi armonica…

L’Analisi di Fourier


42-XX

42-XX è la sigla della sezione primaria dello schema di classificazione MSC dedicata all’analisi di Fourier.

Analisi di Fourier

In analisi matematica, l’analisi di Fourier, nota anche come analisi armonica, è una branca di ricerca che ha preso avvio dalle ricerche di Jean Baptiste Joseph Fourier che, nei primi anni dell’Ottocento, riuscì a dimostrare matematicamente come una qualunque funzione periodica poteva essere scomposta in una somma di infinite “opportune” funzioni o componenti sinusoidali dette armoniche. Da tale constatazione nasce dunque l’idea di scomporre funzioni complicate in una serie di funzioni, nota come serie di Fourier, rendendone l’analisi più semplice e vantaggiosa. Dal concetto matematico di serie di Fourier discende anche la nozione di trasformata di Fourier ed il relativo concetto associato di dominio della frequenza.

Densità spettrale di potenza

In teoria dei segnali, dato un generico segnale di potenza  con trasformata di Fourier  e valore di potenza , si definisce densità spettrale di potenza la seguente funzione della frequenza :

Disuguaglianza di Bessel

In analisi funzionale, la disuguaglianza di Bessel, il cui nome è dovuto a Friedrich Bessel, è una proprietà dei coefficienti di Fourier rispetto ad un sistema ortonormale di un elemento  in uno spazio di Hilbert. Una forma più forte della disuguaglianza è fornita dal teorema di Riesz-Fischer.

Dominio della frequenza

In matematica, ingegneria, fisica, statistica, e altri ambiti delle scienze, l’analisi nel dominio della frequenza di una funzione del tempo ne indica la descrizione in termini dell’insieme (spettro) delle sue frequenze. Ad esempio, è una pratica diffusa nell’ambito delle tecnologie audiovisive e nelle telecomunicazioni valutare quanto un segnale elettrico o elettromagnetico sia compreso in bande di frequenze di particolare interesse.

Fenomeno di Gibbs

Il fenomeno di Gibbs si presenta quando viene ricostruito un segnale dalla serie di Fourier troncata. Prende il nome dal fisico statunitense Willard Gibbs.

Formula di interpolazione di Whittaker-Shannon

Nella teoria dei segnali, la formula di interpolazione di Whittaker-Shannon, anche detta formula di interpolazione di Shannonformula di interpolazione di Whittaker o semplicemente formula di interpolazione, è un metodo per ricostruire un segnale a tempo continuo e a banda limitata da una serie di campioni equidistanti.

Formula di sommazione di Poisson

La formula di sommazione di Poisson, anche detta risommazione di Poisson, è un’identità tra due somme infinite, di cui la prima è costruita con una funzione  e la seconda con la sua trasformata di Fourier . La funzione è definita sull’asse reale o nello spazio euclideo a  dimensioni. La formula è stata scoperta da Siméon Denis Poisson.

Funzione finestra

Nell’elaborazione numerica dei segnali una funzione finestra è una funzione che vale zero al di fuori di un certo intervallo. Per esempio, una funzione che è costante all’interno dell’intervallo è chiamata finestra rettangolare. Quando un’altra funzione è moltiplicata per una funzione finestra, anche il prodotto assume valori nulli al di fuori dell’intervallo: tutto ciò che resta è la “vista” attraverso la finestra.

Identità di Parseval

In matematica, in particolare in analisi funzionale, l’identità di Parseval o identità di Bessel-Parseval è un importante risultato che riguarda la sommabilità della serie di Fourier di una funzione. Si tratta di un’uguaglianza che adatta il teorema di Pitagora a particolari spazi funzionali a dimensione infinita.

Lemma di Riemann-Lebesgue

In matematica, in particolare nell’analisi armonica, il lemma di Riemann-Lebesgue, il cui nome è dovuto a Bernhard Riemann e Henri Lebesgue, è un teorema che afferma che la trasformata di Fourier o Laplace di una funzione integrabile si annulla all’infinito. Grazie ad esso è possibile dimostrare che è una base per lo spazio di Hilbert .

Polinomio trigonometrico

In matematica, un polinomio trigonometrico è una combinazione lineare finita di funzioni  e  per alcuni valori di  interi positivi. Una serie di Fourier troncata è un polinomio trigonometrico.

Rappresentazione spettrale dei segnali

In matematica, la rappresentazione spettrale dei segnali è una descrizione formale dei segnali nel dominio della frequenza, cioè in termini della loro frequenza, che viene utilizzata in molti ambiti della scienza, come l’ingegneria e la fisica. In tale descrizione ogni frequenza di cui è composto un segnale è detta armonica, e da un punto di vista matematico ad ogni armonica si fa corrispondere un vettore di una base di uno spazio vettoriale infinito-dimensionale con prodotto interno sul campo complesso, ovvero la base di uno spazio di Hilbert. Il segnale viene allora scritto come una combinazione lineare in tale spazio. L’analisi in frequenza del comportamento di un sistema dinamico è detta risposta in frequenza del sistema dinamico.

Risposta in frequenza

In teoria dei sistemi dinamici, la risposta in frequenza o risposta armonica di un sistema dinamico è la descrizione della sua uscita utilizzando come variabile la frequenza invece che il tempo. Da un punto di vista matematico la descrizione in frequenza di un sistema dinamico avviene tramite il formalismo della rappresentazione spettrale dei segnali.

Segnale analitico

Un segnale analitico, in matematica e nella teoria dei segnali, è un segnale, ad esempio un segnale elettrico, che non possiede componenti a frequenza negativa. La rappresentazione analitica di una funzione consiste in una funzione complessa di frequenza positiva; ciò facilita spesso il trattamento e le manipolazioni matematiche sul segnale stesso. L’idea di base è che le componenti a frequenze negative dello spettro del segnale, cioè della trasformata di Fourier del segnale, possono essere trascurate a causa della proprietà di simmetria complessa coniugata dello spettro stesso: per un segnale reale la parte reale e il modulo della trasformata sono simmetrici rispetto all’origine, mentre la parte immaginaria e la fase sono antisimmetriche (dispari).

Serie di Fourier

In matematica, in particolare in analisi armonica, la serie di Fourier è una rappresentazione di una funzione periodica mediante una combinazione lineare di funzioni sinusoidali. Questo tipo di decomposizione è alla base dell’analisi di Fourier.

Spazio di Schwartz

In matematica, lo spazio di Schwartz o spazio delle funzioni a decrescenza rapida è lo spazio funzionale delle funzioni lisce le cui derivate decrescono più velocemente di un qualsiasi potenza di 1/x. Prende il nome del matematico Laurent Schwartz.

Teorema di inversione di Fourier

In matematica, il teorema di inversione di Fourier, definisce le condizioni di esistenza per l’inversa della trasformata di Fourier, detta anche antitrasformata di Fourier, la quale permette di risalire ad una funzione  conoscendo la sua trasformata  attraverso la formula di inversione di Fourier. Una versione alternativa del teorema è il teorema di inversione di Mellin, che può essere applicato anche alla trasformata di Fourier grazie alla semplice relazione che le lega.

Teorema di Parseval

In analisi complessa il teorema di Parseval o identità di Rayleigh, il cui nome è dovuto a Marc-Antoine Parseval, è un teorema che stabilisce che la sommatoria del prodotto dei coefficienti di Fourier di due funzioni periodiche è uguale all’integrale del loro prodotto. In sostanza il teorema di Parseval ci fornisce la potenza di un segnale a partire dai coefficienti del suo sviluppo in serie di Fourier.

Teorema di Plancherel

In matematica, in particolare in analisi armonica, il teorema di Plancherel permette di definire la trasformata di Fourier di funzioni che appartengono all’intersezione dello spazio delle funzioni integrabili secondo Lebesgue, denotato con , e lo spazio delle funzioni a quadrato sommabile, denotato con . In particolare, l’applicazione che associa ad una funzione la sua trasformata, che appartiene ad , è un’isometria da  in  che può essere estesa in maniera unica ad un’isometria da  in sé.

Teorema di Riesz-Fischer

In matematica, in particolare in analisi reale, il teorema di Riesz–Fischer stabilisce che in uno spazio completo ogni successione a quadrato sommabile definisce una funzione quadrato sommabile. In particolare, il teorema determina le condizioni per cui gli elementi di una successione in  sono i coefficienti di Fourier di un qualche vettore di . Dal teorema segue inoltre che una funzione è a quadrato integrabile se e solo se la serie dei coefficienti di Fourier converge nello spazio .

Teorema di Wiener-Khinchin

Il teorema di Wiener–Khinchin afferma che la densità spettrale di energia di un segnale coincide con la trasformata di Fourier della funzione di autocorrelazione del segnale stesso.

Trasformata di Fourier

In analisi matematica, la trasformata di Fourier è una trasformata integrale, cioè un operatore che trasforma una funzione in un’altra funzione, sviluppata dal matematico francese Jean Baptiste Joseph Fourier nel 1822, nel suo trattato Théorie analytique de la chaleur, con numerose applicazioni nella fisica e nell’ingegneria ovvero uno degli strumenti matematici maggiormente utilizzati nell’ambito delle scienze pure e applicate, permettendo di scrivere una funzione dipendente dal tempo nel dominio delle frequenze, grazie alla decomposizione della funzione nella base delle funzioni esponenziali con un prodotto scalare, rappresentazione spesso chiamata spettro della funzione. A volte si intende per trasformata di Fourier la funzione che risulta dall’applicazione di questo operatore.

Trasformata di Fourier a tempo discreto

In matematica, la trasformata di Fourier a tempo discreto, spesso abbreviata con DTFT, è una trasformata che a partire da un segnale discreto ne fornisce una descrizione periodica nel dominio della frequenza, analogamente alla trasformata di Fourier tradizionale.

Trasformata di Fourier veloce

In matematica, la trasformata di Fourier veloce, spesso abbreviata con FFT, è un algoritmo ottimizzato per calcolare la trasformata discreta di Fourier (DFT) o la sua inversa.

Trasformata discreta del coseno

La trasformata discreta del coseno o DCT, è la più diffusa funzione che provvede alla compressione spaziale, capace di rilevare le variazioni di informazione tra un’area e quella contigua di un’immagine digitale trascurando le ripetizioni; la funzione che supporta la compressione temporale è affidata invece ad un apposito “vettore movimento”, che individua le componenti dinamiche tralasciando quelle statiche.

Trasformata discreta di Fourier

In matematica, in particolare nell’analisi di Fourier, la trasformata discreta di Fourier, anche detta DFT, è un particolare tipo di trasformata di Fourier. Si tratta anche di un caso particolare della trasformata zeta.


Da Wikipedia, l’enciclopedia libera.

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