Algebra omologica: cos’è, tutto sull’argomento

Algebra omologica

L’algebra omologica è la branca della matematica che studia i metodi dell’omologia e della coomologia da un punto di vista generale. Questi concetti sono nati nell’ambito della topologia algebrica.

Categoria abeliana

In matematica, una categoria abeliana è una categoria in cui oggetti e morfismi possono essere sommati, e in cui esistono nuclei e conuclei, i quali soddisfano alcune proprietà desiderate. Un esempio di categoria abeliana, che è motivazione della definizione, è la categoria dei gruppi abeliani, Ab. La teoria delle categorie abeliane nacque per il tentativo di unire diverse teorie coomologiche di Alexander Grothendieck, e indipendentemente nei lavori precedenti di David Buchsbaum. Le categorie abeliane sono piuttosto stabili, ad esempio sono regolari e soddisfano il lemma del serpente. La classe delle categorie abeliane è chiusa sotto diverse costruzioni categoriali: ad esempio la categoria dei complessi di catene di una categoria abeliana e la categoria dei funtori da una categoria piccola ad una abeliana sono ancora abeliane. Queste proprietà di stabilità le rendono onnipresenti in algebra omologica; la teoria ha importanti applicazioni in geometria algebrica, coomologia, e teoria delle categorie pure. Le categorie abeliane prendono il nome da Niels Henrik Abel.

Gruppo di Grothendieck

In matematica, in particolare in algebra astratta, il gruppo di Grothendieck di un semigruppo commutativo  è un gruppo, costruito in modo tale che sia “il più piccolo” gruppo che contiene . Prende nome dalla costruzione più generale introdotta da Alexander Grothendieck nella teoria delle categorie con i suoi lavori fondamentali nella metà del 1950 che portarono allo sviluppo della K-teoria.

Modulo iniettivo

In matematica, un modulo iniettivo è un modulo con la proprietà di essere un addendo diretto di ogni modulo che lo contiene: ovvero Q è iniettivo se, per ogni modulo M che lo contiene, esiste un sottomodulo N di M tale che M è la somma diretta di N e Q.

Modulo proiettivo

In matematica, un modulo proiettivo è un modulo con la proprietà di essere addendo diretto di un modulo libero: ovvero P è proiettivo se esiste un modulo libero F e un suo sottomodulo N tale che F è la somma diretta di P ed N.

Omologia ciclica

In matematica, l’omologia ciclica è un aspetto dell’algebra omologica. È stata definita nel 1983 da Alain Connes come una successione di gruppi indicata come:

HCn(R).

Storia dell’algebra omologica

La storia dell’algebra omologica si può dividere in tre periodi e può considerarsi un cammino graduale.

Successione esatta

In matematica, più precisamente in algebra omologica, una successione esatta è una successione di oggetti e di morfismi in cui l’immagine di ognuno di essi coincida col nucleo del successivo. La nozione di successione esatta ha senso in ogni categoria abeliana.

Successione spettrale

In algebra omologica, topologia algebrica e geometria algebrica, una successione spettrale è un modo di calcolare i gruppi di omologia considerandone approssimazioni successive. Le successioni spettrali sono una generalizzazione delle successioni esatte. A partire dalla loro introduzione da parte di Jean Leray nel 1946 sono diventate degli importanti strumenti computazionali.

Teoria di Hodge

In matematica, la teoria di Hodge, che prende il nome da William Hodge, è un modo di studiare le forme differenziali su una varietà liscia . In termini più specifici, cerca di comprendere le conseguenze sui gruppi di coomologia di , a coefficienti reali, a seguito di una teoria di equazioni alle derivate parziali su operatori laplaciani generalizzati associata a una metrica riemanniana su .


Tratto da Wikipedia:

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